Terzo Appello 5 09 23

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 5/9/2023 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ቂୱ୧୬[ଷగ(௧ିఛ)] గ(௧ିఛ) ቃ ଶ cosቀ2𝜋௧ ఛቁ A ) Si trovi l'espressione analitica della sua trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) con 𝜏 generico. B ) Si traccino i grafici del modulo e della fase di 𝑋(𝑓) nel caso in cui 𝜏 = 2 Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)= cos(16𝜋𝑡)cos(8𝜋𝑡+𝜗) con intervallo di campionamento 𝑇=ଵ ଷ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. A ) Si disegni la trasformata di Fourier del segnale discreto 𝑥௡ sia in frequenza che in frequenza normalizzata. B ) Si trovi l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡) C ) Il calcolo della DFT dei primi 30 campioni del segnale discreto 𝑥௡ ottenuto campionando 𝑥(𝑡) o 𝑥ோ(𝑡) porta allo stesso risultato o ad un risultato differente? Esercizio 3 Sia dato il processo casuale 𝑥௡ stazionario con varianza valor medio 𝑚௫ = −3 , potenza uguale a 12 e coefficiente di correlazione 𝜌௫[𝑚] =ୱ୧୬ గ೘ ర గ೘ ర . A) Si disegni il grafico della densità spettrale di potenza del processo dato 𝑥௡. B) Il processo viene filtrato con un sistema LTI con risposta in frequenza 𝐻෩(𝑓) =ଵ ଶ −ଵ ଶ cos 4𝜋𝑓 ottenendo il processo filtrato 𝑦௡. Si trovi la potenza del processo filtrato 𝑦௡. C) Valor medio e varianza di 𝑧௡ =𝑥௡ +𝑥௡ି଺ sono uguali, minori o maggiori di quelli di 𝑣௡ =𝑥௡ + 𝑥௡ିସ ? Soluzione Esercizio 1 del 5/9/2023 A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓). La trasformata di ቂୱ୧୬[ଷగ௧] గ௧ ቃ ଶ è 3 ∙𝑡𝑟𝑖ቀ௙ ଷቁ dove 𝑡𝑟𝑖(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓)∗𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑓) La trasformata di ቂୱ୧୬[ଷగ(௧ିఛ)] గ(௧ିఛ) ቃ ଶ è 3 ∙𝑡𝑟𝑖ቀ௙ ଷቁ𝑒ି௝ଶగఛ௙ La trasformata di 𝑥(𝑡)=ቂୱ୧୬[ଷగ(௧ିఛ)] గ(௧ିఛ) ቃ ଶ cosቀ2𝜋௧ ఛቁ è 𝑋(𝑓)=ଷ ଶ 𝑡𝑟𝑖ቆ௙ା భ ഓ ଷ ቇ𝑒ି௝ଶగఛቀ௙ା భ ഓቁ +ଷ ଶ 𝑡𝑟𝑖ቆ௙ି భ ഓ ଷ ቇ𝑒ି௝ଶగఛቀ௙ି భ ഓቁ =ଷ ଶ ቈ𝑡𝑟𝑖ቆ௙ା భ ഓ ଷ ቇ +𝑡𝑟𝑖ቆ௙ି భ ഓ ଷ ቇ቉𝑒ି௝ଶగఛ௙ B) Per tracciare il…