Text Auto Valuation Test A 2020 ProfVerri

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Test di AutoValutazione (A) 1.   r r
Sia q (x; y) :=“ x e y sono angoli complementari ”. Interpretare a parole le proposizioni “ ∃x ∃y q (x; y)” e “ ∃x ∀y q (x; y)”. 2.   r r
Scrivere le seguenti affermazioni usando i quantificatori. (a) A nessuno studente sono antipatici tutti professori. (b) A qualche studente sono simpatici tutti i professori. (c) Scelto uno studente qualunque, gli ` e simpatico almeno un profes- sore. (d) C’` e un professore che ` e simpatico a tutti gli studenti. (e) C’` e uno studente a cui sono antipatici tutti i professori. (f) Tutti i professori sono simpatici agli studenti. Ci sono affermazioni fra loro equivalenti? E affermazioni che si negano l’una con l’altra? 3.   r r
Si vuole provare che r := “ ∀x p (x) ⇒ q (x)” ` e falsa. In questo caso il controesempio ` e un particolare x tale che ... (completare la frase, giustificandola). 4.   r r Provare per induzione che 2 n + 1 < 2n (n = 3; 4; 5; :::). 5.   r r Dimostrare per induzione che i sottoinsiemi di un insieme di n elementi ( n ≥ 1) sono 2 n. 6.   r r Dimostrare per induzione che le diagonali di un poligono non in- trecciato di n lati ( n ≥ 3) sono n (n − 3) =2. 0Aggiornamento: 26 settembre 2013 M. Verri - Analisi Matematica I - Test di AutoValutazione 2 7.   r r Dimostrare il teorema “Il quadrato di un numero pari ` e un numero pari”, ovvero che ∀x p (x) ⇒ q (x), avendo indicato con x un intero naturale e posto p (x) := “ x  e pari”, q (x) := “ x2  e pari”. 8.   r r Dare un enunciato equivalente alla negazione di p ⇔ q. 9.   r r A e B sono due insiemi. Ricordando che A = B significa: ∀x x ∈ A ⇐ ⇒x ∈ B, formalizzare il…