Text Auto Valuation Test B 2020 Prof Verri

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e d ell’Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I prof. Maurizio Verri T est di AutoV alutazione (B) 1.
    Sia K un campo. Mostrare che (a) l’elemento neutro del prodotto e gli elementi inversi so no unici (b) 1
= 0 (c) −0 = 0 e 1−1 = 1 (d) (−1)2 = 1 (e) ∀x ∈ K − x = (−1) x (f) ∀x ∈ K − (−x) = x (g) ∀x ∈ K\ {0} (x−1)−1 = x 2.
    Sia K un campo ordinato. Mostrare che (a) 1 > 0 (b) ∀x ∈ K x2 + 1 > 0 3.
   V erificare che ∀x ∈ GF (3) si ha x3 = x e che ∀x ∈ GF (4) si ha x4 = x. 4.
   Risolvere l’equazione x5 = x + 1 nell’incognita x ∈ GF (4). 5.
    Posto A =
0, √ 2  \ CRQ, calcolare sup A e inf A. 6.
   Sia A =  1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , ...  . Determinare in R l’insieme B dei mino ranti e l’insieme C dei maggioranti di A, quindi calcolare inf A, sup A, min A, max A. 7.
   Come l’Ex. 4 con A =  n n + 1 : n ∈ N  . 0Aggiornamento: 7 ottobre 2013 M. V erri  Analisi Matematica I  T est di AutoV alutazione 2 8.
    Sia A =  an ∈ R : an = 0, 9...9 n volte , n ∈ N+ . V erificare chesup A = 1. ( Osservazione: il sup A è il numero periodico 0, 9 e quindi si ha 0, 9 = 1 ). 9.
   Provare la formula di De Moivre del prodotto di due numeri com p lessi. 10.
   Dimostrare per induzione la formula della potenza di un nume ro complesso. 11.
   Siano z, w ∈ C. Provare che (a) z = z (b) z + w = z + w; zw = z w (c) z = z ⇐ ⇒ z ∈ R (d) z z = |z|2 12.
   Provare la formula di De Moivre del quoziente di due numeri co m plessi. 13.
   Calcolare le radici cubiche complesse di 8, 1 + i, 1 − i. 14.
   Calcolare 6 (1 + i)3, 6 (1 + i)6, 6 (1 + i)12. 15.
   A quali operazioni sui numeri complessi corrispondono la ri flessione…