Traccia soluzione I appello 11 01 23

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NOME: Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] I Appello - 11 Gennaio 2023 0. Esercizi Preliminari [Tempo 10 min] Completare ciascuna frase scegliendo fraconvergente,divergenteoindeterminata: •La serie 1X n=1 ( 1)n n +1 n`e......... •La serie 1X n=1 1pn 1pn+1`e......... •La serie 1X n=1 n n2+en `e......... 1 -- divergenle-- convergenle -- convergente NOME: Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] I Appello - 11 Gennaio 2023 0. Esercizi Preliminari [Tempo 10 min] Completare ciascuna frase scegliendo fraconvergente,divergenteoindeterminata: •La serie 1X n=1 cos(n⇡)(1 +1 n)` e......... •La serie 1X n=1 sin1 n sin1 n+1`e......... •La serie 1X n=1 n n2+e n `e......... indeterminata convergente divergente Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] I Appello - 11 Gennaio 2023 1. Teoria [Tempo 50 min] 1.Siaf:(a, b)!Res i ax02(a, b). 1.1.[1 punto] Dare la definizione difcontinua inx0. 1.2.[1 punto] Dare la definizione difderivabile inx0. 1.3.[1 punto] Dare la definizione difdi↵erenziabile inx0. 1.4.[2 punti] Discutere la relazione tra derivabilit` a e di↵erenziabilit` a difinx0. 1.5.[2 punti] Discutere la relazione tra derivabilit` a e continuit` a difinx0. 2.1[1 punto] Dare la definizione di funzione fconvessa su [a, b]. Sef`e c o n v e s s a e derivabile, cosa possiamo dire dif0(x)? 2.2[1 punto] Siaf:[a, b]!(0,1) una funzione due volte derivabile tale che la funzione log(f(x)) sia convessa su [a, b]. Dimostrare chef`e c o n v e s s a s u [a, b]. 3.1[1 punto] Enunciare il Teorema di Lagrange. 3.2[2 punti] Siaf:[ 0,1]!Runa funzione derivabile tale chef(0) = 0 ef0(x)>1 per…