Traccia soluzione II itinere 11 01 23

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Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] II Prova in Itinere - 11 Gennaio 2023 1. Teoria [Tempo 45 min] 1.Siaf:(a, b)!Res i ax02(a, b). 1.1.[1 punto] Dare la definizione difcontinua inx0. 1.2.[1 punto] Dare la definizione difderivabile inx0. 1.3.[2 punti] Discutere la relazione tra derivabilit` a e continuit` a difinx0. 2.1[1 punto] Dare la definizione di funzione fconvessa su [a, b]. Sef`e c o n v e s s a e derivabile, cosa possiamo dire dif0(x)? 2.2[1 punto] Siaf:[a, b]!(0,1) una funzione due volte derivabile tale che la funzione log(f(x)) sia convessa su [a, b]. Dimostrare chef`e c o n v e s s a s u [a, b]. 3.1[1 punto] Enunciare il Teorema di Lagrange. 3.2[1 punto] Siaf:[ 0,1]!Runa funzione derivabile tale chef(0) = 0 ef0(x)>1 per ognix2[0,1]. Dimostrare che l’equazione f(x)=x non ha soluzioni in (0,1]. 1 2.2 fdecivablez volte-7 gEx 1log(4D) devivalilezvolte pertesremasulladerivazionedifuntisnicomposte ,con S 'EX1+ FHCS G 'C2 E- FH (( tp Poichégéconvessa g'LH=F') - FIAREFA guindifiLfI50PorchéFIX 1sO, FYLX )o e quindiféconvessaperiltestdiconvessitá 3.2 SidgLx )=FLX )-X, TELO ,1J. Perassurdsnor xoE (o,1J taleche f (xo)=xo ciség (xo)=f(to)-x.70. Allordg:20, xo3 éderivabrle , quindicontrued , e globgeokoPeriltesremadiRolle(o equiv .di Lagrange ) deveexistere . X ,E( O,x.) CC 0,1) talecheglG .)=o. Maalloa o -g'(xu)-fLx.) -1ciséfl (xi)e. Assundsporché f 'ltmT oiJ =)7Xo E (o,1)talecheflx .)= Xo. Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] II Prova in Itinere - 11 Gennaio 2023 2. Esercizi [Tempo 60 min] 1.[2 punti] Trovare (se esiste) il minimo della funzione f(x)=xx,x 2(0,1). 2.[2 punti] Calcolare il limite limx!0+ 1 sin6x Zx2 0 log 1+t…