Traccia soluzioni 02 09 2022

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NOME: Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] V Appello - 2 Settembre 2022 0. Esercizi Preliminari [Tempo 10 min] ScrivereVEROoF ALSOaccanto a ciascuna a↵ermazione: •Sef`e i n t e g r a b i l e s u [a, b]a l l o r af`e c o n t i n u a s u [a, b].......... •Sef`e d e c r e s c e n t e i n [a, b]a l l o r af`e i n t e g r a b i l e i n [a, b].......... •Sef`e d e r i v a b i l e i n [a, b]a l l o r af0`e c o n t i n u a s u [a, b].......... 1 FALSO VERO FALSO Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] V Appello - 2 Settembre 2022 1. Teoria [Tempo 50 min] 1.[3 punti] Siaan>0u n as u c c e s s i o n ei n fi n i t e s i m a . C o s as ip u ` od i r ed e l l es e g u e n t i serie (giustificare le risposte)? a) 1X n=1 ( 1)nan n b) 1X n=1 log(1 +an) n c) 1X n=1 an(1 +an) npnsinan Cambia qualcosa nell’ipotesi aggiuntivaanmonotona? [1 punto] 2.Siaf:[ 0,1)!Runa funzione continua. 2.1.[1 punto] Dare la definizione difintegrabile impropriamente su [0,1). 2.2.[2 punti] Dimostrare che sef`e i n t e g r a b i l e i m p r o p r i a m e n t e s u [ 0,1)efammette limite`2Rperx!1, allora necessariamente`=0 . 2.3.[1 punto] Sef` e integrabile impropriamente su [0,1), allora segue necessariamente che limx!1 f(x)=0 ? 3.[4 punti] Definire la serie geometrica di ragione q2R,ed i s c u t e r n ei lc a r a t t e r ea l variare diq(calcolando la somma della serie quando convergente). 1. Sedonnonèmonotona, Ètimorepuòconvergere, nel divergereoessereindeterminato seanèmonotona(quindidecrescente),È㱻÷convergesemplicementeperilcriteriodiLeibniz mapotrebbenonconiugareassolutamente ES: se0h= Inlaserie convergesemplicementee assolutamente. seoh= %㱺laserie…