traccia soluzioni 07 07 22pdf

Page 1

NOME: Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] IV Appello - 7 Luglio 2022 0. Esercizi Preliminari [Tempo 10 min] Completare ciascuna frase scegliendo fraconvergente,divergenteoindeterminata: •La serie 1X n=1 ( 1)n(1 +1 n)` e......... •La serie 1X n=2 1 n p logn3 `e......... •La serie 1X n=1 n n3+e n `e......... 1 indeterminato divergente convergente Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] IV Appello - 7 Luglio 2022 1. Teoria [Tempo 50 min] 1.1[1 punto] Enunciare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. 1.2[3 punti] Dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. 1.3[2 punti] Assumendo nota la linearit` a dell’integrale e il fatto che il quadrato di una funzione integrabile ` e integrabile, mostrare che sefegsono integrabili su [a, b] allora lo ` e anche il loro prodottofg. 2.1[2 punti] Sia data f:(a, b)!R,es i ax02(a, b). Dare la definizione di f di↵erenziabile inx0efderivabile inx0. 2.2[2 punti] Dimostrare quindi chefdi↵erenziabile inx0`e e q u i v a l e n t e afderivabile inx0. 2.3[2 punti] Siaf:[ 0,1]!Rcon le seguenti propriet` a: •f`e d i ↵ e r e n z i a b i l e c o n d e r i v a t a c o n t i n u a , •esistex02[0,1] talef(x0)=0 . Dimostrare che maxx2[0,1] |f(x)| Z1 0 |f0(t)|dt. 2.3 Essendofderivabilecon derivatacontinua,perilteorema fondamentaledelcalcolointegrale [f' (t)dt= f(x)- fa.)= fa)✗o poichéfk.to. Quindi,se×. ≤×, HAI=/SEt'A)dt/ ≤[It'It)/ dt ✗o mentrese✗o ≥× Ifk)/= /Èf'A)dt) ≤SÉIt'ltlldt Perlamonotoniadell'mtegrale, essendo✗HoC-[◦il]e V.' A)|≥o te[con], ¥✗EEADvale HIHI≤SiIÈHYdt Essendofcontinuaun[aDper ilteoremadiWeierstrassHK)/ assumemassimo m È]ed avremo maiHAI≤ |!It' CHIdt [01'] Politecnico di…