traccia soluzioni III appello 07 06 23

Page 1

NOME: Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] III Appello - 7 Giugno 2023 0. Esercizi Preliminari [Tempo 10 min] ScrivereVEROoF ALSOaccanto a ciascuna a↵ermazione: •Sef`e d e r i v a b i l e i n [a, b]a l l o r af0`e u n a f u n z i o n e c o n t i n u a s u [a, b].......... •L’equazionez3+az2+bz+c=0c o na, b, ccoe cienti complessi ammette sempre almeno una soluzione reale.......... •Sefegsono due funzioni integrabili in senso improprio in [0,1], allora ` e integrabile impropriamente in [0,1] anche il loro prodottofg.......... 1 F F F Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Analisi Matematica I [Pro↵. D.Monticelli, V.Pata] III Appello - 7 Giugno 2023 1. Teoria [Tempo 50 min] 1.1[3 punti] Dare la definizione di funzionef:[ 0,1]!Rintegrabile secondo Riemann. 1.2[2 punti] Mostrare un esempio di funzionef:[ 0,1]!Rlimitata ma non integrabile (motivare la risposta adeguatamente). 1.3[1 punto] Costruire un esempio di funzionef:[ 0,1]!Rlimitata, non integrabile su ogni intervallo [a, b]⇢[0,1], ma che sia continua in almeno un punto. 2.[3 punti] Dimostrare la convergenza della serie geometrica 1X n=0 qn con|q|<1. Calcolare quindi la somma della serie 1X n=k qn per ogni intero positivok. 3.[3 punti] Dataf:R!R,d a r el ad e fi n i z i o n ed is u pf. Costruire quindi un esempio esplicito di f:[ 0,1)!Rtale che:fnon ha massimo,f`e s u p e r i o r m e n t e l i m i t a t a , e d e s i s t e u n a s u c c e s s i o n exndi punti di massimo locale forte tale chef(xn)!supf. 1.2.F:[0,17-R +x= {1 x x=[0,1)140 x x= [0,1]14 1.3.g:[0,1]-> gx= {X 1 x- [0,1]1R 0 1 xe[0,14 Notachegécontumam 0. K k+1 2. 2x=x I (x|<1n=0 -x= ExEsel x- 1 n2x1=2x4- Z X n=n n=0 n= 0 =Ex- *= 3.F:(0,0)- IR f(x)= 7- cos)actanx…