Vettori aleatori

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Mattia Natali 1 Vettori Aleatori µ Sommario: Ø Normali multivariate; Ø Vettori gaussiani; Ø Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. µ Richiami di algebra lineare: Ø x=x1……xn⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟∈n, xT=x1,…,xn(). Ø A=A11…A1m………An1…Anm⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟∈Μn×m(). Ø A⋅B()ij=AinBnjn∑ con B∈Μm,k(). Ø xT⋅x=x2ii∑=x2. µ Definizioni: Ø Normale Standard: Z=Z1…Zn⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ vettore aleatorio è normale standard se: § Z1,…,Zn~N0,1(). § Indipendenti. Ø Media: sia X=X1,…,Xn()T vettore aleatorio à EX():=EX1(),…,EXn()()T. Ø Vettore normale: X=X1,…,Xn()T è normale se ∃ Z=Z1,…,ZN() vettore aleatorio normale standard, A∈Μn×m(), µ=µ1,…,µn()T∈n tale che X=AZ+µ. µ Matrice di Covarianza: Ø Definizione: sia X=X1,…,Xn()T, si definisce matrice di covarianza CX:=CovX1,X1()CovX1,X2()…CovX1,Xn()CovX2,X1()CovX2,X2()…CovX2,Xn()…………CovXm,X1()CovXm,X2()…CovXm,Xn()⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟. Ø Proprietà: § Cii=VarXi(), sulla diagonale maggiore abbiamo le varianze di Xi. Mattia Natali 2 § C=CT à è una matrice simmetrica. § Se X1,…,Xn sono indipendenti ⇒ è una matrice diagonale. Ricordiamo che la covarianza di due variabili indipendenti è uguale a 0. § Sia a1,…,an∈, C≥0⇔aTCa≥0,∀a∈n. In parole la matrice è semidefinita positiva (gli auto valori non possono essere negativi). • Dimostrazione: 0≤VaraiXii=1n∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟=VarY()=CovY,Y()CovaiXii=1n∑,ajXjj=1n∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟=aiajCovXi,Xj()i,j∑=aiajCiji,j∑= =aiajCijj∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟=Ca()ii∑=aiCa()ii∑=aTCa≥0 ∀a∈n. § Sia X=AZ+µ un vettore aleatorio. • EX⎡⎣⎤⎦=EAZ+µ⎡⎣⎤⎦=AEZ⎡⎣⎤⎦=0+µ=µ. • Cij=CovXi,Xj()=CovAZ+µ()i,AZ+µ()j()=CovAihZihh∑+µinumero,AjkZjkk∑+µjnumero⎛⎝⎜⎞⎠⎟= AihAjkCovZh,Zk()k∑h∑=AihAjkδh,k()kronekerh,k∑=AihAjhh∑=AihAT()hjh∑=AAT()ij. à CX=AAT. µ Vettori Gaussiani Ø Z~N0,1()⇔fZz()=12πe−z22.…