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Prima prova in itinere di Analisi 1 e Geometria - 14 Novembre 2012 Versione 1 Docenti: D. Monticelli, R. Notari Parte A Esercizio 1. Dare la definizione di lim x→−∞ f (x) = L, con L ∈ R. Mostrare, usando la definizione, che lim x→−∞ log2 ( 2x + 1 x ) = 1. In alternativa, enunciare i risultati che permet- tono di ridurre il calcolo del limite precedente al limite li m x→−∞ 1 x = 0 e verificare questo secondo limite. Esercizio 2. Dimostrare che il quadrato di nessun numero razionale ` e 3 . Esercizio 3. Enunciare e dimostrare il teorema sulle radici n–esime di un numero com- plesso. Prima prova in itinere di Analisi 1 e Geometria - 14 Novembre 2012 Versione 1 Docenti: D. Monticelli, R. Notari Parte B Esercizio 1. Verificare che, per ogni numero naturale n ∈ N0, si ha 1 + 2 + 2 2 + · · · + 2n = 2 n+1 − 1. Svolgimento. La base d’ induzione ` e per n = 0 visto che la formula deve essere verificata in N0. A sinistra dell’ uguale bisogna sommare le potenze di 2 dall’ espon ente 0 all’ esponente n e quindi, per n = 0 , essa si riduce al primo addendo ossia ad 1 . A destra dell’ uguale, posto sempre n = 0, abbiamo 2 1 − 1 = 1 , e quindi le due espressioni forniscono lo stesso risultato per n = 0. Assumiamo che l’ uguaglianza valga per un intero n, e verifichiamola per l’ intero successivo n + 1. Abbiamo 1 + 2 + · · · + 2n + 2n+1 = (1 + · · · + 2n) + 2n+1 = = (2 n+1 − 1) + 2n+1 = 2 · 2n+1 − 1 = 2 n+2 − 1 e questo prova che l’ uguaglianza vale anche per n + 1, se essa vale per n, completando la verifica. 1 2 Esercizio 2. Risolvere in C l’ equazione (|z|2 − 2z) ( (z + 1)3 − 8i ) = 0 e rappresentarne le soluzioni nel piano di Gauss. Svolgimento. Per la legge di annullamento del prodotto, basta risolvere sepa ratamente le due equazioni |z|2 − 2z = 0 e ( z + 1)3 − 8i = 0. Ricordando che…