QUARTO Appello 16 1 2024

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 16/01/2024 Tempo richiesto 1h e 45min. ESERCIZIO 1 Sia data la trasformata di Fourier 𝑋(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡ቀଶ௙ ௙ೞ ቁ−௝ ଶ 𝛿ቀ𝑓−ଷ ସ 𝑓௦ቁ+௝ ଶ 𝛿ቀ𝑓+ଷ ସ 𝑓௦ቁ del segnale tempo continuo 𝑥(𝑡). Il segnale 𝑥(𝑡) viene campionato con frequenza di campionamento 𝑓௦. A - Si traccino i grafici di modulo e fase della trasformata 𝑋(𝑓) data. B - Si trovi l’espressione del segnale tempo continuo 𝑥ோ(𝑡) ricostruito dai campioni 𝑥௡. C - Si calcoli l’espressione del segnale 𝑦(𝑡) ottenuto filtrando il segnale 𝑥ோ(𝑡) con un filtro passa- basso ideale di banda bilatera ௙ೞ ଵ଴. ESERCIZIO 2 Siano date due sequenze di durata finita di 100 campioni: 𝑥௡ = sinቀ2𝜋 ௡ ହ଴ቁ e 𝑦௡ = cosቀ2𝜋 ௡ ଵ଴଴ + గ ଵଶቁ con 0 ≤𝑛≤ 99 Si trovi l’espressione della convoluzione circolare tra 𝑥௡ e 𝑦௡ ESERCIZIO 3 Sia dato il processo casuale stazionario 𝑦௡ =𝑥௡ +𝑤௡ dove 𝑥௡ ha densità di probabilità delle ampiezze uniforme tra –A e +2A e 𝑤௡, indipendente da 𝑥௡, ha densità di probabilità delle ampiezze gaussiana con valor medio 𝑚௪ e varianza 𝜎௪ଶ . A - Si trovi l’espressione della potenza di 𝑦௡ . Il processo casuale 𝑥௡ viene fatto passare attraverso un dispositivo NON lineare in cui l’uscita 𝑧௡ viene azzerata per 𝑥௡ < 0, è uguale a 𝑥௡ per i valori di 𝑥௡ >𝐴 ed è uguale a 0.5 per 0 ≤𝑥௡ ≤𝐴. B - Si trovi l’espressione della densità di probabilità delle ampiezze di 𝑧௡ C – Si trovi valor medio e varianza del processo casuale 𝑧௡ Segnali per le comunicazioni –Appello del 16/01/2024 Soluzioni Risposta 1 A - B - 𝑥ோ(𝑡)= ୱ୧୬ቀగ೑ೞ మ ௧ቁ గ௧ − sinቀ𝜋௙ೞ ଶ 𝑡ቁ C – Il seno cade fuori dalla banda del filtro e quindi viene eliminato. La trasformata del seno cardinale è un rettangolo di banda ௙ೞ ଶ e altezza unitaria. Il filtro lascia passare un rettangolo di banda ௙ೞ ଵ଴ e altezza unitaria. Dunque il segnale filtrato avrà la seguente…