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Segnali per le comunicazioni –Appello del 16/01/2024 Tempo richiesto 1h e 45min. ESERCIZIO 1 Sia data la trasformata di Fourier 𝑋(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡ቀଶ ೞ ቁ− ଶ 𝛿ቀ𝑓−ଷ ସ 𝑓௦ቁ+ ଶ 𝛿ቀ𝑓+ଷ ସ 𝑓௦ቁ del segnale tempo continuo 𝑥(𝑡). Il segnale 𝑥(𝑡) viene campionato con frequenza di campionamento 𝑓௦. A - Si traccino i grafici di modulo e fase della trasformata 𝑋(𝑓) data. B - Si trovi l’espressione del segnale tempo continuo 𝑥ோ(𝑡) ricostruito dai campioni 𝑥. C - Si calcoli l’espressione del segnale 𝑦(𝑡) ottenuto filtrando il segnale 𝑥ோ(𝑡) con un filtro passa- basso ideale di banda bilatera ೞ ଵ. ESERCIZIO 2 Siano date due sequenze di durata finita di 100 campioni: 𝑥 = sinቀ2𝜋 ହቁ e 𝑦 = cosቀ2𝜋 ଵ + గ ଵଶቁ con 0 ≤𝑛≤ 99 Si trovi l’espressione della convoluzione circolare tra 𝑥 e 𝑦 ESERCIZIO 3 Sia dato il processo casuale stazionario 𝑦 =𝑥 +𝑤 dove 𝑥 ha densità di probabilità delle ampiezze uniforme tra –A e +2A e 𝑤, indipendente da 𝑥, ha densità di probabilità delle ampiezze gaussiana con valor medio 𝑚௪ e varianza 𝜎௪ଶ . A - Si trovi l’espressione della potenza di 𝑦 . Il processo casuale 𝑥 viene fatto passare attraverso un dispositivo NON lineare in cui l’uscita 𝑧 viene azzerata per 𝑥 < 0, è uguale a 𝑥 per i valori di 𝑥 >𝐴 ed è uguale a 0.5 per 0 ≤𝑥 ≤𝐴. B - Si trovi l’espressione della densità di probabilità delle ampiezze di 𝑧 C – Si trovi valor medio e varianza del processo casuale 𝑧 Segnali per le comunicazioni –Appello del 16/01/2024 Soluzioni Risposta 1 A - B - 𝑥ோ(𝑡)= ୱ୧୬ቀగೞ మ ௧ቁ గ௧ − sinቀ𝜋ೞ ଶ 𝑡ቁ C – Il seno cade fuori dalla banda del filtro e quindi viene eliminato. La trasformata del seno cardinale è un rettangolo di banda ೞ ଶ e altezza unitaria. Il filtro lascia passare un rettangolo di banda ೞ ଵ e altezza unitaria. Dunque il segnale filtrato avrà la seguente…
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