SECONDO APPELLO 29 7 2020

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Segnali per le comunicazioni – Appello del 29/7/2020 Esercizio 1 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) = cos(2𝜋𝑓௢𝑡)+ cos൫2𝜋𝑓௢(𝑡+𝜏)൯ A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) in funzione del ritardo 𝜏. B) Si traccino i grafici di modulo e fase di 𝑋(𝑓) assumendo 𝜏 = ଵ ସ௙೚ C) Sempre assumendo 𝜏 = ଵ ସ௙೚ , si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ =𝑓௢ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si calcoli l'espressione del segnale tempo continuo 𝑥ோ(𝑡) ricostruito dai campioni del segnale discreto 𝑥௡. Soluzione Esercizio 1 del 29/7/2020 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) = cos(2𝜋𝑓௢𝑡)+ cos൫2𝜋𝑓௢(𝑡+𝜏)൯ A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) in funzione del ritardo 𝜏. 𝑋(𝑓)=1 2[𝛿(𝑓−𝑓௢)+𝛿(𝑓+𝑓௢)]൫1 +𝑒௝ଶగ௙ఛ൯ =1 2𝛿(𝑓−𝑓௢)൫1 +𝑒௝ଶగ௙೚ఛ൯+1 2𝛿(𝑓+𝑓௢)൫1 +𝑒ି௝ଶగ௙೚ఛ൯ B) Si traccino i grafici di modulo e fase di 𝑋(𝑓) assumendo 𝜏 = ଵ ସ௙೚ 𝑋(𝑓) =1 2𝛿(𝑓−𝑓௢)(1 +𝑗)+1 2𝛿(𝑓+𝑓௢)(1 −𝑗) |𝑋(𝑓)| =√2 2 𝛿(𝑓−𝑓௢)+√2 2 𝛿(𝑓−𝑓௢) 𝑓𝑎𝑠𝑒௑(௙) =൞ 𝜋 4 𝑓=𝑓௢ −𝜋 4 𝑓= −𝑓௢ C) Sempre assumendo 𝜏 = ଵ ସ௙೚ , si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ =𝑓௢ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si calcoli l'espressione del segnale tempo continuo 𝑥ோ(𝑡) ricostruito dai campioni del segnale discreto 𝑥௡. 𝑋෨(𝑓) =𝑓௢ ෍ 1 2𝛿(𝑓−𝑓௢ −𝑘𝑓௢)(1 +𝑗)+1 2𝛿(𝑓+𝑓௢ −𝑘𝑓௢)(1 −𝑗) ஶ ௞ୀିஶ =𝑓௢𝛿(𝑓) 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑓௢ 𝑋ோ(𝑓) = 𝛿(𝑓) 𝑥ோ(𝑡)= 1 Oppure semplicemente da 𝑥ቀ௡ ௙೚ ቁ = cosቀ2𝜋𝑓௢ ௡ ௙೚ ቁ+ cosቀ2𝜋𝑓௢ ௡ ௙೚ +గ ଶቁ =1 Segnali per le comunicazioni – Appello del 29/7/2020 Esercizio 2 Sia dato il processo casuale stazionario tempo continuo 𝑥(𝑡) la cui autocorrelazione vale 𝑅௫(𝜏)=𝑟𝑒𝑐𝑡(𝜏)∗𝑟𝑒𝑐𝑡(𝜏). Il processo 𝑥(𝑡) viene campionato con intervallo di campionamento 𝑇= 0.6𝑠 ottenendo il processo casuale discreto 𝑥௡. A) Si trovi l'espressione della densità spettrale di potenza del processo casuale discreto 𝑥௡. B) Si trovi l’espressione dell’autocorrelazione del…