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Algebra Lineare e Geometria – Gennaio 2021 Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare dipendente da un parametro k ∈ R kx + 2y = k x − ky = 0 3x + (k − 1)y = 1 1. Stabilire per quali valori di k il sistema ammette soluzioni, motivando adeguatamente la risposta. 2. Fornire un’interpretazione geometrica del sistema. 3. Posto k = 1, scrivere la matrice del sistema ai minimi quadrati associato e calcolarne le relative soluzioni. Esercizio 2. Si consideri l’applicazione lineareL : R3 → R3 rappresentata dalla matrice A = 1 1 0 −1 −1 0 1 0 −1 1. Determinare gli autovalori e gli autovettori di A. 2. Stabilire se esiste una base di R3 formata da autovettori di A, motivando adeguatamente la risposta. 3. Mostrare che ker (A) `e contenuto in im(A). 4. Sia u il generico elemento in ker (A). Determinare i vettori v ∈ R3 tali che L(v) = u, illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato . Esercizio 3. Si consideri lo spazio euclideo R4 dotato del prodotto scalare standard e sia U ⊂ R4 il sottospazio vettoriale U = h x y z t iT ∈ R4 y + z − t = 0 . 1. Determinare una base B di U. 2. Determinare una base ortonormale B′ di U. 3. Determinare, se esiste, una base ortogonale di R4 contenente la base ottenuta nella soluzione del punto precedente. 4. Determinare la proiezione ortogonale di u = h 1 2 1 0 iT sul sottospazio U, illu- strando sinteticamente il procedimento utilizzato . 1
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