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ESERCIZIO 1 Considera l’applicazione lineareL:R3Ñ R3definita da Lpe1`e2q“´6e1´2e3, Lpe1`e2`e3q“e1`e2`e3, Lpe2`e3q“3e1`e3. (i)Scrivi la matrice rappresentativaAdiLrispetto alla base canonicaE“te1,e2,e3udiR3. (ii)Determina le dimensioni del nucleo e dell’immagine diL. (iii)Calcola gli autovalori e gli autovettori diAe stabilisci seA`e diagonalizzabile suR. (iv)Calcola la controimmagine medianteLdel sottospazio vettorialeU“Span ˆ” 1´2´1 ıT˙ . – 2 – – 3 – ESERCIZIO 2 Considera il sistema lineare descritto dalla matrice ż —Ð 2k 0´4k´2 1 ´1´2 0 4k2 0 ´2 2 fi fl dipendente da un parametrokPR. (i)Studia la risolubilit`a del sistema al variare dikPR,motivando la risposta e menzionando dove serve quali teoremi sono stati utilizzati. (ii)Per il valore positivodikper il quale il sistemanon`e risolubile: •risolvi il sistema ai minimi quadrati; •calcola la proiezione ortogonale del vettore del termini noti sullo spazio delle colonne della matrice dei coefficienti. – 4 – – 5 – ESERCIZIO 3 Considera lo spazio euclideoV“Rrts§2dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali nella indeterminatat, dotato del prodotto scalarex,y:VˆVÑ Rdefinito da xpptq,qptqy “ ª1 0 pptqqptqdt, @pptq,qptqPV. (i)Determina tutti i polinomi diVortogonali apptq“2t. (ii)Indicato conUil sottospazio vettoriale diVgenerato dapptq“2t, determina la proiezione ortogonale diqptq“t2suU. – 6 –
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