01 Numeri e funzioni reali

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A–L) Numeri reali e funzioni reali di variabile reale Nota: questo file differisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. L’insieme dei numeri reali • Approccio costruttivo • Approccio assiomatico: l’insieme dei numeri reali R ` e un campo totalmente ordinato e completo. Campo ??? Totalmente ordinato ??? Completo ??? 1 R ` e uncampo In R sono definite due leggi di composizione interna + addizione · moltiplicazione con le seguenti propriet` a: Propriet` a commutativa Per ogni a, b∈ R: a + b = b + a , a· b = b· a Propriet` a associativa Per ogni a, b, c∈ R: (a + b) + c = a + (b + c) , (a· b)· c = a· (b· c) Propriet` a distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione Per ogni a, b, c∈ R: a· (b + c) = a· b + a· c −→ “raccoglimento a fattor comune” 2 Esistenza e unicit` a degli elementi neutri • Esiste in R un unico elemento 0 tale che a + 0 = a per ogni a∈ R. • Esiste in R un unico elemento 1, diverso da 0, tale che a· 1 = a per ogni a∈ R. Esistenza e unicit` a degli inversi • Per ogni a∈ R esiste un unico elemento di R, che si denota con−a e si chiama opposto di a, tale che a + (−a) = 0. • Per ogni a∈ R\{ 0} esiste un unico elemento di R, che si denota con a−1 e si chiama reciproco di a, tale che a· a−1 = 1. Notazione: R∗ := R\{ 0} 3 Nota Tramite gli inversi si definiscono le operazioni inverse: • la sottrazione si definisce per ogni a, b , ponendo a− b := a + (−b); • la divisione si definisce per ogni a e per ogni b̸= 0, ponendo ↓ perch´ e? a b := a· b−1. In particolare, 1 b = b−1 . 4