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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 2 maggio 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia {b1, b2, b3} una base di R3 , e sia T : R3→ R3 l’applicazione lineare tale che    T(b1) = b1 + 2b2 + b3, T(b2) = 2b1 + 3b2, T(b3) = 3b1 + b2− b3. (a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base {b1, b2, b3} . (b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell’immagine di T . (c) Si dia la definizione di funzione iniettiva. L’applicazione T ` e iniettiva? Soluzione (a) La matrice che rappresenta T rispetto alla base considerata ` e la matrice le cui colonne sono le componenti, rispetto alla base stessa, dei trasformati dei vettori della base, cio` e A =   1 2 3 2 3 1 1 0 −1   . (b) Con una riduzione per righe della matrice A , si vede che il rango di A ` e 3. Dunque, per il teorema delle dimensioni, la dimensione del nucleo ` e zero. (c) Siano A,B insiemi. Una funzione A f −→B (con dominio A e codominio B ) si dice iniettiva se, per ogni x,y∈A , f(x) =f(y) =⇒x =y In modo equivalente, f ` e iniettiva se, se, per ognix,y∈A , x̸=y =⇒f(x)̸=f(y) L’applicazione lineare T ` e iniettiva perch´ e KerT = 0 . (a) Sia u = [ 1 1 ] (matrice 2× 1 ) e sia A = u uT (prodotto di matrici). i. Si dica se la matrice A ` e diagonalizzabile, giustificando la risposta. Se lo ` e, si scriva una matrice diagonale simile alla matrice A . ii. Esistono basi ortonormali di R2 formate da autovettori di A ? Se esistono, se ne trovi una. iii. Si dica se la seguente…