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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Analisi e Geometria 2 Docente: 2 maggio 2018 – 12:15 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli nello spazio sotto il testo. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1. a)SianoA= 2 4 15 7 11 1 21 5 3 5ebk= 2 4 9 2k 1 0 3 5. Discutere, al variare del parametro reale k, la risolubilit` a del sistema lineare Ax=bke, nel caso esistano, calcolarne le soluzioni. Qual ` e il nucleo di A? b)SiaF:R3!R3l’applicazione lineare con le seguenti propriet` a: •il nucleo di F` e lo spazio Ker(F)= n⇥ xyz ⇤t 2R3 x+2y z=0 o ; •la matrice che rappresenta Frispetto alla base canonica di R3` e simmetrica e ha traccia 6. Dopo aver determinato la dimensione e una base per il nucleo di F, la dimensione e una base per l’immagine di F, scrivere una base ortonormale QdiR3formata da autovettori di F. Qual ` e la matrice che rappresenta Frispetto alla baseQ? ~1d i4~ ~2d i4~ Esercizio 2. Al variare del parametro reale k, determinare la soluzione generale dell’equazione di↵erenziale y00(t) 2y0(t) 4k2y(t)= t. ~3d i4~ Esercizio 3. Siafla funzione reale di variabile reale con le seguenti propriet` a: •f(x+2⇡)=f(x) per ogni xreale; •f(x)=f( x) per ogni xreale; •sull’intervallo [0,⇡] la funzione fassume i valori f(x)= 8 >>< >>: 2, sex=0 2,se 0<x62 3⇡ 0, se2 3⇡<x 6⇡ . Dopo aver disegnato il grafico della funzione fnell’intervallo [ 2⇡,2⇡], scrivere il polinomio trigonometrico 1 2a0+ a1cosx+b1sinxche ` e lo sviluppo di Fourier del primo ordine di f. Studiare inoltre la convergenza puntuale della serie di Fourier di fsull’intervallo chiuso [0 ,⇡]. x f(x) ⇡ 1 ~4d i4~ Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Analisi…
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