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Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria Quarto appello 2 Settembre 2015 DOMANDA 1 Si consideri il seguente problema:    u′′(x) + u′(x) + 2u(x) = x x 2 (0; 1) u′(0) = 0 u′(1) = 1 : 1. (T) Si scriva la formulazione debole del problema, indicando chiaramente quali sono gli spazi funzionali e con quale motivazione vengono scelti. 2. (E) Si dimostri la continuit a della forma bilineare. 3. (T) Si disegnino le funzioni di base dello spazio di elementi niti lineari de niti su una par- tizione unifome dell'intervallo [0; 1] di passo h = 1=3, che approssimano lo spazio funzionale scelto per la formulazione debole. 4. (T) Si scriva l'approssimazione di Galerkin del problema, Au = f ottenuta utilizzando lo spazio degli elementi niti lineari descritto al punto 2, indicando come gli elementi della matrice A e del vettore f dipendono dagli elementi della base a elementi niti. DOMANDA 2 Si consideri la funzione: f (x) = 2 x3 + (4 )x2 + 2(1 )x  ; per x 2 [ 3; 3]. 1. (T) Si illustri il metodo di Newton per la ricerca di zeri di una funzione, spiegando da dove deriva il metodo. 2. (T) Si riporti la formula modi cata per la ricerca di zeri multipli. 3. (M) Si traccino i gra ci della funzione f (x) e della derivata f ′(x) nella stessa gura. 4. (M) Dopo aver stimato dal gra co gli zeri di f (x), si implementi con Matlab il metodo di Newton scegliendo opportunamente il punto di partenza e la tolleranza. 5. (M) Sapendo che le radici sono 1 = 1 e 2 = =2, si valuti la convergenza del metodo nei due casi e quindi l'opportunit a di utilizzare il metodo modi cato per una delle radici. Se valutato conveniente (anche dall'osservazione del gra co di f (x)) si utilizzi il metodo modi cato per una delle radici e se ne valuti la convergenza. DOMANDA 3 Si consideri la funzione f : [1=2; 2]…