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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Docente: 2 settembre 2024 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. ♡ 1 di 4 ♡ Esercizio 1. Sia V = R[t]≤3 lo spazio vettoriale dei polinomi reali nella variabile t di grado minore o uguale a 3. Sia H l’insieme dei polinomi P (t) ∈ V tali che P (−1) = P (1) = 0, e K l’insieme dei polinomi Q(t) ∈ V tali che P (−3) = P (3) = 0. 1. Mostrare che H e K sono sottospazi vettoriali di V ; determinare una base e la dimensione di H e di K. 2. Mostrare che V ` e la somma diretta diH e di K. 3. Scrivere il polinomio t3 + t2 + t + 2 come somma P (t) + Q(t) di un polinomio P (t) appartenente a H e di un polinomio Q appartenente a K. 4. Determinare tutti i polinomi F (t) ∈ V tali che F (−3) = F (3) = 6. ♡ 2 di 4 ♡ Esercizio 2. Si consideri la matrice Aa =   3 − a a a 1 3 −1 −1 − a a a + 4   1. Per ogni a ∈ R si calcoli il polinomio caratteristico di Aa. 2. Per i valori di a per cui Aa ` e diagonalizzabile suR, si determinino una base di R3 formata da autovettori di Aa e una matrice diagonale simile ad Aa. 3. Per i valori di a per cui Aa non ` e diagonalizzabile suR, si osservi che Aa ha un autovalore semplice λ1 e un autovalore doppio λ2. Si determini una base {b1, b2, b3} di R3 tale che Aab1 = λ1b1, Aab2 = λ2b2, (Aa − λ2I)b3 = b2 e si scriva la matrice che rappresenta l’applicazione lineare L(v) = Aav rispetto a tale base. ♡ 3 di 4 ♡ Esercizio 3. Considera lo spazio euclideo R3…