02 Statistica matematica

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CdL in Informatica e Comunicazione Digitale Statistica Matematica anno accademico 2005/06 ulteriori esercizi di Calcolo delle Probabilit` a 1. Sia Sn = X1 + . . . + Xn la somma di n = 192 numeri aleatori indipendenti Xk tutti compresi fra 0 e 1, e ciascuno con attesa E(Xk) = 1 2 e varianza V ar(Xk) = 1 12 . Facendo uso dell’approssimazione normale calcolare la probabilit` a P{95 ≤ Sn ≤ 100} 2. Si sa che una v.a. X ha varianza σ2 = 4; si eseguono n = 64 misure di X e se ne calcola la media X. Quale ` e la probabilit` aP{|X − µ|> 0.5}che il valore assoluto della differenza fra X e il suo valore d’attesa µ superi 0.5? ( Suggerimento: fare uso dell’approssimazione normale) 3. Sia X una v.a. della quale non si conosce la distribuzione, ma della quale si sa che µ = E(X) = 1 e σ2 = Var(X) = 1 3 ; sia inoltre Sn = X1 + . . . + Xn la somma di n = 300 v.a. indipendenti e tutte distribuite come X (quindi tutte con la stessa attesa e la stessa varianza di X): • determinare l’attesa E(Sn) e la varianza Var(Sn) di tale somma; • calcolare la probabilit` aP{296 ≤ Sn ≤ 302} facendo uso dell’approssimazione normale. 4. Un computer genera n = 192 numeri aleatori indipendenti X1, . . . , Xn tutti distri- buiti in maniera uniforme fra 0 e 1 ( con E(Xk) = 1 2 , e Var(Xk) = 1 12 ) . Facendo uso dell’approssimazione normale e delle Tavole della distribuzione normale stan- dard, calcolare la probabilit` aP{92 ≤ Sn ≤ 100}che la somma Sn = X1 + . . . + Xn cada fra 92 e 100. 5. Si sa che il valore di un segnale all’istante t0 ` eµ = 100; si sa per` o anche che a tale valore si sovrappone un rumore casuale con media nulla e varianza σ2 = 4. Si eseguono n = 64 misure del segnale a t0 e se ne calcola la somma Sn che, a causa del rumore, ` e una variabile aleatoria. • Quali sono il valore d’attesa e…