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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 03 F ebbraio 2014 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. i) Determinare l’integrabilit` a della funzione f(t) := (1−e−t)2 e2t−1 su (0, +∞)⊂ R. ii) Calcolare l’integrale I = ∫ +∞ 0 (1−e−t)2 e2t− 1 dt. SOLUZIONE i)1. Poich´ ef(t)≥ 0, f(t)∼ t 2 per t→ 0+ e f(t)∼e−2t per t→ +∞, si ha che f ` e integrabile su (0, +∞)⊂ R. ii) I = ∫ +∞ 0 (1−e−t)2 e2t− 1 dt = (x :=et,t = logx,dt =x−1dx) = = ∫ +∞ 1 1 x (1−x−1)2 x2− 1 dx = = ∫ +∞ 1 (x− 1) x3(x + 1)dx = = ∫ +∞ 1 (−2x2 + 2x− 1 x3 + 2 x + 1 ) dx = = ∫ +∞ 1 ( − 2 x + 2 x2− 1 x3 + 2 x + 1 ) dx = = [ −2 log|x| + 2 log|x + 1|− 2 x + 1 2x2 ]+∞ 0 = = [ 2 logx + 1 x − 2 x + 1 2x2 ]+∞ 1 =−(2 log 2− 2 + 1 2) = 3 2− log 4. 2. Si consideri l’equazione differenziale y′ =et− 2et−y, dovey =y(t). i) Riconoscere di che tipo di equazione differenziale si tratta; ii) determinare le eventuali soluzioni stazionarie (cio` e quelle del tipoy =k, con k∈ R); iii) individuare la soluzione ¯y : R→ R che passa per il punto (0; 1); iv) scrivere il polinomio di Mac Laurin di grado due generato dalla funzione y, senza calcolare esplicitamente le derivate di y nel generico punto t di R. SOLUZIONE i) Poich´ e si pu` o porre nella formay′ = et(1− 2e−y), l’equazione ` e del tipoy′ = a(t)b(y), per cui ` e a variabili separabili. ii) Le soluzioni stazionarie sono le soluzioni dell’equazioneb(y) = 0, cio` e dell’equazione 1− 2e−y = 0,…