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Fondamenti di Automatica (Prof. Bascetta) Prima prova scritta intermedia - 3 Maggio 2016 Anno accademico 2015/2016 Soluzioni Esercizio 1 1.1 Il sistema è descritto dalle matrici: [ ]010 0 1 0 , 221 000 012 =           =           −− −− = C BA α α Il polinomio caratteristico della matrice A è: ( )22 221 00 012 αλλ αλ λ αλ λ += +− + =− AI Il sistema ha quindi un autovalore nell’origine e due autovalori in α2− . Non esistono quindi valori di α per cui il sistema è asintoticamente stabile. 1.2 La matrice di raggiungibilità del sistema è: [ ] ( ) 1144det 1420 001 210 2 −=−+−=⇒           −− − == αα α α RR KBAABBK Il sistema è quindi completamente raggiungibile per ogni valore di α. 1.3 La matrice di osservabilità è: ( ) 0det 000 001 000 2 =⇒           =   = O TTTTT O KCACACK Il sistema è quindi non completamente osservabile per ogni valore di α. 1.4 Trasformando le equazioni del sistema partendo da stato iniziale nullo è possibile ricavare, con semplici conti algebrici, l’espressione della funzione di trasferimento ( ) ssG 1= Il risultato ottenuto è coerente con quanto visto nei punti 1.2 e 1.3. Ci si at tenderebbe infatti una funzione di trasferimento con denominatore di ordine 3, mentre il denominatore ha grado 1, ad indicare che esistono delle dinamiche nascoste dovute alla non completa osservabilità. Esercizio 2 2.1 La funzione di trasferimento può essere riscritta come: ( ) ( )233.01 33.0110 s ssG + −= . La funzione di trasferimento ha tipo zero, guadagno pari a 10, due poli nel semipiano sinistro e uno zero nel semipiano destro alla pulsazione 3. I diagrammi asintotici sono riportati a fianco: 2.2 Il diagramma polare si ricava dai diagrammi di Bode asintotici: 2.3 La pulsazione alla quale il diagramma attraversa il semiasse…