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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 Docente: 3 luglio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1 Si consideri la funzione f cos de nita:f e dispari, periodica di periodo T = 2 , e f (x) = { 1 se x 2 ( 0; 2 ) 0 se x 2 [ 2 ; ] : a) Disegnare il gra co di f nell'intervallo [ 3; 3] ; b) scrivere la serie di Fourier associata ad f ; c) stabilire se e in quale senso tale serie converge o meno a f (x) , motivando la risposta. Soluzione a) Il gra co richiesto e rappresentato nella gura (in fondo). b) Essendo f dispari vale ak = 0 8k 2 N [ f0g . Inoltre, 8k 2 N , vale bk = 2 ∫ =2 0 sin(kx) dx = 2 k [cos(kx)]=2 0 = 2 k [ 1 cos ( k 2 )] : Quindi, se k e pari, diciamo k = 2h con h 2 N , si avr a b2h = 1 h [1 cos(h)] = 1 h [1 ( 1)h] = { 0 h pari 2 h h dispari: Se invece k e dispari, diciamo k = 2l 1 con l 2 N si avr a b2l 1 = 2 (2l 1) [ 1 cos ( l 2 )] = 2 (2l 1) : In conclusione la serie di Fourier richiesta e la seguente: +1∑ n=1 2 (2n 1) sin[(4n 2)x] + +1∑ l=1 2 (2l 1) sin[(2l 1)x]: c) La serie converge a f (x) per ogni x diverso da 0 ; =2 (e diverso dai punti ottenuti da questi aggiungendo 2k , con k 2 Z ) per il teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier, essendo f regolare in tali punti e regolare a tratti sul periodo. Sebbene ci o non sia richiesto si noti che, per il medesimo teorema, s(0) = 0 , s(=2) = 1=2 . Inoltre la serie di Fourier converge a f in norma quadratica sull'intero intervallo [ ;…
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