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Analisi Mat. 2 e Compl. di Alg. Lineare – IEC – prof. Citrini 2° appello – 3 luglio 2018 Prova2Edi_An2_2018_sol.docx 1/8 3/07/2018 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Dichiaro di aver preso visione delle regole di esame e in particolare dei punti l-m-n-o. Firma …………………… Esercizio 1 a b c d 2e f g h 3i 4 j k [l] 5 m [n] Totale Punteggio 4 3 3 2 1 4 1 1 3 3 1 +3 7 +5 33+8 Voto Tempo a disposizione: 2 h 30’. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Data la matrice A =
 1  2 1 0 4 1   a) studiarne il rango e determinarne il nucleo al variare del parametro reale k. Si ha det A = k3 – 4k = 0 per k = 0 e k = ±2. Per gli altri valori di k il rango rk(A) = 3, e il nucleo si riduce al solo vettore nullo. Risulta poi A(0) =
0 1 0 2 1 0 4 1 0  , che ha rango 2 (l’ultima colonna è nulla, le altre sono indipendenti; la somma della prima e della terza riga è il doppio della seconda). Il nucleo è generato dal vettore [0, 0, 1]T. Anche A(–2) =
4 1 −2 2 1 0 4 1 −2  e A(2) =
4 1 2 2 1 0 4 1 2  hanno rango 2 (la prima e la terza riga sono uguali, la seconda è indipendente da esse). Per A(–2) il nucleo è generato da [1, –2, 1]T (il doppio della seconda colonna è la somma delle altre due), per A(2) da [1, –2, –1]T (il doppio della seconda colonna è la differenza delle altre due). b) Stabilire quando è risolubile il sistema A x = b , con b = [2+ k, 4, 6+3 k]T, determinandone le soluzioni quando manchi l’unicità. Il sistema ha una e una sola soluzione per k ≠ 0, ±2. Per k = 0, il sistema è = 2 2 + = 4 4 + = 6 , ⇒ y = 2, x = 1, mentre z è arbitraria.…