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GEOMETRIA E COMPL. DI ANALISI MA T. 11 settembre 2013 Cognome: Nome: Matricola: V ecchio Ord. Geom - Analisi Nuovo Ord. Geom - Analisi R. Betti / A. Di Libero • Riassumere le risposte negli spazi sotto le domande e, se occorre, allegare altri fogli per lo svolgimento. 1. [A]Determinare l’integrale generale dell’equazione di↵erenziale y0 2y = e2t. Determinare inoltre, se esiste, un integrale particolare che abbia un massimo nel punto A(0, 1/2). Integrale generale: ................................... Integrale particolare: ................................... 2. [A] Data la superficie S rappresentata dalla funzione z = log x y x + y si determini: campo di esistenza (tracciando un grafico), zeri, segno, eventuali punti stazionari e loro natura. Inoltre, determinare l’insieme dei punti di S nei quali il piano tangente ` e ortogonale al vettore v =( 1, 2, 1). Studio della funzione: Insieme dei punti richiesto: 3. [G-A] Nel piano xy, determinare le tangenti alla parabola di equazione y = x2 tracciate dal punto A(0, 2). Calcolare inoltre l’area della regione piana compresa fra la parabola e le tangenti trovate. Equazioni delle tangenti: ........................................ Area: ........................................ 4. [G] Data l’applicazione lineare f : R3 ! R3 definita da f (x, y, z)=( x + z, y + z, x + y + z) determinare una base ortonormale di R3, se esiste, rispetto alla quale la matrice associata all’applicazione sia diagonale. Quante matrici diagonali simili alla matrice dell’applicazione esistono? Base ortonormale .............................. Quante matrici diagonali simili? .............................. 5. [G] Nello spazio ordinario sono dati i punti A(1, 0, 0) e B(0, 1, 1). Sul piano degli assi y e z, determinare il vertice C di un triangolo isoscele di area…