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SECONDA PROV A IN ITINERE DI ANALISI 1 E GEOMETRIA - 4 FEBBRAIO 2013 DOCENTI: M.BOELLA, D.MONTICELLI, R.NOTARI, C.PERELLI CIPPO Parte A Esercizio 1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange. Svolgimento. Vedi libro di teoria. Esercizio 2. Determinare il numero di soluzioni dell’ equazione 2x = (x + 1)2 motivando ogni affermazione. Svolgimento. Siano f (x) = 2 x e g(x) = ( x + 1)2. Abbiamo che f (0) = 1 = g(0), e quindi una delle radici ` e x1 = 0 . La retta tangente al grafico di f (x) in (0 , 1) ha equazione y = 1 + ln(2) x, mentre quella tangente al grafico di g(x) ha equazione y = 1 + 2 x. Visto che ln(2) < 2, g (x) > f (x) in un intorno destro di x1 = 0 , e g(x) < f (x) in un intorno sinistro di x1 = 0 . Analizziamo le due funzioni. La funzione f (x) ` e continua, monotona crescente, e lim x→−∞ f (x) = 0 , mentre la funzione g(x) ` e continua, monotona decrescente per x < − 1, e monotona crescente per x > − 1. Inoltre lim x→±∞ g(x) = + ∞ . Visto che f (− 1) = 1 /2 > g (− 1) = 0 , e che f (− 2) = 1 /4 < g (− 2) = 1 , deve esserci una seconda radice x2 dell’ equazione f (x) = g(x) con − 2 < x 2 < − 1, per il Teorema degli zeri applicato alla funzione h(x) = f (x) − g(x). Inoltre, la monotonia garantisce che non ci sono altre radici per x < − 2. Osserviamo ora che f (1) = 2 < g (1) = 4 , e che f (6) = 64 > g (6) = 49 . Sempre il Teorema degli zeri applicato alla funzione h(x) precedente garantisce che esiste una terza radice x3 che verifica 1 < x 3 < 6. Possiamo essere anche pi` u precisi, osservando che f (5) = 32 < g (5) = 36 , e quindi 5 < x 3 < 6. Le funzioni f (x) e g(x) sono derivabili in R, e quindi lo ` e anche la funzione h(x). Per il Teorema di Rolle applicato alla funzione h(x) nell’ intervallo [ x2, x1], esiste un punto z1 ∈ (x2, x1) in cui h′(z1) = 0 , e…