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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 04 F ebbraio 2013 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia f (x) = x2 − 2 arctan x + 2 ln(1 + x)√x sin(x3) : (a) Determinare i valori dei parametri reali k e per i quali risulta f (x) ∼ kx per x → 0+ : (b) Enunciare il criterio del confronto asintotico sulla integrabilit` a (in senso generalizzato) in un intervallo [ a; b] delle funzioni positive e continue in ( a; b]. (c) Utilizzare i risultati precedenti per stabilire se il seguente integrale ` e convergente: 1∫ 0 f (x) dx : SOLUZIONE a) Utilizzando la formula di Mac Laurin arrestata al terzo ordine, per x → 0 si ottiene: arctan(x) = x − x3 3 + o(x3) ; ln(1 + x) = x − x2 2 + x3 3 + o(x3) ; da cui segue x2 − 2 arctan x + 2 ln(1 + x) = 4 3 x3 + o(x3) ∼ 4 3 x3 : Poich´ e, perx → 0+, risulta √x sin(x3) ∼ √xx3 ; abbiamo che, per x → 0+, risulta f (x) ∼ 4 3 x3 √xx3 = 4 3 x−1=2 : Segue k = 4 3 ; = − 1 2 : b) Siano f e g due funzioni continue e positive in un intervallo ( a; b] e tali che f (x) ∼ g(x) per x → a+. Allora f ` e integrabile in [ a; b] se e solo se g ` e integrabile in [ a; b]. c) La funzione f ` e definita e continua in (0 ; 1]. Poich´ e f (x) ∼ 4 3 x−1=2 per x → 0+ ; ` e anche sicuramente positiva in un (opportuno) intorno destro di 0 (in realt` a, ` e positiva in tutto l’intervallo (0; 1]). Inoltre, poich´ e4 3 x−1=2 ` e il termine generale di una funzione integrabile in un…