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Analisi e Geometria 2 Prima prova in itinere 2014/2015 4 maggio 2015 Svolgimento della versione 1 1. Si consideri l’applicazione lineare F : R3→ R3 definita da F (x,y,z ) = (−3x− 4z, 5y,−4x + 3z) . a) Scrivere la matrice A che rappresenta F rispetto la base canonica di R3 e provare che A ` e ortogonalmente diagonalizzabile. b) Determinare una base ortonormale B di R3 formata da autovettori di F ; scrivere una matrice M rappresen- tativa di F rispetto alla base B e una matrice ortogonale P di passaggio. c) Dare un’interpretazione geometrica dell’applicazione lineare G : R3→ R3 definita da G(x,y,z ) = 1 5F (x,y,z ) . Soluzione a) La matrice che rappresenta F rispetto la base canonica di R3 ` eA =   −3 0 −4 0 5 0 −4 0 3   . La matrice A ` e reale e simmetrica e quindi, per il Teorema Spettrale, ` e ortogonalmente diagonalizzabile. b) L’equazione caratteristica det(A−λI) = 0 di A ` e (λ− 5)2(λ + 5) = 0 , dunque gli autovalori sono λ0 = 5 (doppio), λ1 =−5 (semplice). L’autospazio V5 ={v∈ R3 : Av = 5v} ` e lo spazio (di dimensione 2 ) delle soluzioni del sistema lineare omogeneo (A− 5I)v = 0, cio` e   −8 0 −4 0 0 0 −4 0 −2     x y z   =   0 0 0   , cio` e 2x +z = 0 ; risulta quindi V5 =      α β −2α   : α,β ∈ R    = Span      1 0 −2  ,   0 1 0      . Per il Teorema Spettrale, l’autospazio V−5 ` e uno spazio (di dimensione 1 ) ortogonale all’autospazio V5 , quindi V−5 ` e la retta (per l’origine) ortogonale al piano di equazione 2x +z = 0 ; risulta cio` eV−5 = Span      2 0 1      . Indichiamo con v1 =   1 0 −2   e v2 =   0 1 0   i vettori scelti come generatori di V5 e sia v3 =   2 0 1   il generatore scelto per V−5 . Osservato che v1 e v2 sono ortogonali, una base ortogonale (non ortonormale) di R3 formata da…