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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca I Prova in itinere - 4 maggio 2016 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Si consideri la seguente famiglia di funzioni di parametro k ∈ R fk(x) := { 1/x5 x ∈ [k, +∞) 0 x < k. 1. Mostrare che k = 1 / √ 2 ` e l’unico valore per cui fk rappresenta la densit` a di una variabile aleatoria assolutamente continua X. 2. Calcolare valore atteso e varianza di X. 3. Calcolare la funzione di ripartizione F di X. 4. Calcolare P(X > 2) e P(|X| < 2). 5. Calcolare per ogni α ∈ (0, 1) il valore qα := min{t : F (t) ≥ α}. 1 Soluzione. 1. La funzione fk ` e non negativa se e solo se k ≥ 0. Inoltre 1 = ∫ R fk(x)dx = ∫ ∞ k 1 x5 dx = − 1 4x4 |∞ k = 1 4k4 da cui si ha l’unica soluzione k = 1/ √ 2. 2. E[X] = ∫ R xf 1√ 2 (x)dx = ∫ ∞ 1√ 2 1 x4 dx = − 1 3x3 |∞ 1√ 2 = √ 8 3 . Ricordando che var( X) = E[X 2] − E[X]2 calcoliamo E[X 2] = ∫ R x2f 1√ 2 (x)dx = ∫ ∞ 1√ 2 1 x3 dx = − 1 2x2 |∞ 1√ 2 = 1 da cui var( X) = 1 − 8/9 = 1 /9. 3. Dalla definizione FX (t) := ∫ t −∞ f 1√ 2 (x)dx =    0 t ≤ 1 √ 2∫ t 1√ 2 1 x5 dx = − 1 4x4 |t 1√ 2 = 1 − 1 4t4 t > 1√ 2 . 4. Ricordiamo che per una variabile aleatoria generica P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a) da cui P(X > 2) = 1 − FX (2) = 1 /26. Inoltre, essendo P(X ≤ − 2) ≤ P(X ≤ 1/ √ 2) = 0 si ha immediatamente P(|X| < 2) = 1 − P(X > 2) = 63 /64. 5. Utilizzando la continuit` a della FX e la stretta monotonia su (1 / √ 2, +∞), si ha che FX ` e biettiva da (1/ √ 2, +∞) su (0 , 1) pertanto FX (qα) = α. In altre parole t = qα ` e la soluzione dell’equazione 1 − 1 4t4 = α cio` e qα = (4(1 − α))− 1/4. 2 Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca I Prova in itinere - 7 maggio 2015 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore…