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Analisi Matematica 2 – ITEA – prof. Citrini 1° app ello – 4 luglio 2017 Prova1Edi_An2_2017_sol.docx 1/4 4/07/2017 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Esercizio 1 a b c d 2 e f g 3 h i j 4 k l Totale Punteggio 1 4 2 4 2 2 1 3 3 2 4 4 32 Voto Tempo a disposizione: 2 h 30’. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Siano A =
1 1 1 −1 1 2 0 2   e b =  0 1 dipendenti dai parametri reali k e a. a) Studiare il rango di A al variare di k Si ha facilmente det(A) = 1 1 1 −1 1 2 0 2  = 1 1 1 0 2 3 0 2  = 2 3 2  = 2( k – 3). Dunque   =  3 se  ≠ 3 2 se  = 3 . b) Scrivere esplicitamente il sistema A x = b e dire quante soluzioni ammette al variare di k e a, determinandole quindi quando esistono (o almeno per k = 1, 2, 3 e a = 4 – k). Il sistema è   + + = − + +2 = 0 2 + = 1 Dal calcolo del rango di A segue che per k ≠ 3 il sistema avrà sicuramente una e una sola soluz ione ∀ b, mentre per k = 3 dobbiamo studiare il rango della matrice ampli ata. Basterà orlare un minore diverso da zero, valutando per esempio 1 1 −1 1 0 0 2 1 = 1 2 −1 0 0 0 2 1 = 2 2 1 = 2(1 – a), per stabilire che  |  =  3 se ≠ 1 2 se = 1 . In definitiva il sistema ammette  1 !"# $!%& &  ≠ 3, ∀ 0 !"# $!%$ &  = 3, ≠ 1 ∞) !"# $!%$ &  = 3, = 1 . Per trovare le soluzioni possiamo sommare la prima riga alla seconda ottenendo il sistema   + + = 0 2 +3 = 2 + = 1 , e quindi sottraendo dalla terza   + + = 0 2 +3 = 0  − 3 = 1 − . Dall’ultima equazione deduciamo i risultati precedenti, e, per k ≠ 3, la soluzione *+, +- = −  − = ) . /0123) /04  = ) .  − 3 …