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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria Appello 4 Settembre 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. RIPORTARE TUTTI I COMANDI MATLAB UTILIZZATI. DOMANDA 1 Si consideri il problema di Cauchy:    y′′(t) +y(t) = 4 t∈ (0, +∞) y(0) = 0 y′(0) =−1 (1) 1. Sia Y (p) la trasformata di Laplace della soluzione. Si calcoli la trasformata di Laplace dell’equazione e si calcoli Y (p) risolvendo l’equazione cos` ı ottenuta. 2. Utilizzando il risultato al punto 1, si determini, motivando ogni passaggio, la soluzione y(t) per t≥ 0. 3. Si ricavi il metodo LeapFrog per la soluzione di un’equazione di Cauchy del secondo ordine (non si deve solo scrivere l’algoritmo, ma si deve spiegare con quale principio si discretizza l’equazione differenziale). 4. Si implementi con Matlab l’algoritmo LeapFrog per il problema (1) e si riporti accurata- mente il grafico della soluzione numerica ottenuta nell’intervallo di tempo [0 , 3π/2] con passo di discretizzazione h = π/4. ATTENZIONE: non si deve implementare il generico algoritmo LeapFrog, ma un algoritmo adatto al tipo particolare di equazione assegnata. 5. Si risolva il problema (1) nell’intervallo di tempo [0 , 3π/2] e con passi di discretizzazione h =π/4,π/ 8,π/ 16,π/ 32. Conoscendo il valore esatto y(3π/2) = 5, si valuti l’andamento dell’errore eh =|y(3π/2)−yh(3π/2)| al diminuire del passo di discretizzazione temporale, calcolandolo per i valori di h in tabella. Si confronti quanto ottenuto con il risultato teorico. h =π/4 h =π/8 h =π/16 h =π/32 eh 1 DOMANDA 2 Si consideri il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace…