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Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 T erzo Appello – 4 Settembre 2017 Cognome: Nome: Matricola: Es.1: 5 punti Es.2: 6 punti Es.3: 7 punti Es.4: 6 punti T otale 1. (a) Disegnare sul piano di Gauss gli insiemi A = { z∈ C : |z + 1− i| =|z| } B = { z∈ C : Re z + Imz = 0 } . (b) Tenendo conto del punto precedente, risolvere il sistema { |z + 1− i| =|z| Rez + Imz = 0. (c) Detta z0 la soluzione del sistema precedente, determinare z1 = 1 + i +z0 e z2 = (1 + i)z0. Disegnare sul piano di Gauss i punti z1 e z2 . 2. Calcolare, per α = 1 4 , per α = 1 e per α = 2 , il limite L = lim x→0+ xα− sinxα x6 +x6α2 . 3. Si consideri la funzione definita da f(x) =x− 2 3 ln(1 +x3). (a) Determinare il campo di esistenza di f . (b) Determinare gli eventuali asintoti di f . (c) Determinare i punti di massimo locale e di minimo locale di f . (d) Disegnare il grafico qualitativo di f . (e) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di f di ordine 6 . 4. Si consideri la curva γ :    x =t + cost y =t + sint z = 1 +t t∈ [−π,π ]. (a) Verificare che la curva γ ` e regolare. (b) Determinare i versori della terna intrinseca di γ nel punto P≡ (1, 0, 1) . (c) Determinare la curvatura di γ nel punto P . Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Tempo. 2 ore. Prima Parte Es.1: 5 punti Es.2: 3 punti T otale 1. Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. 2. (a) Dire come si calcola l’area di un parallelogrammo in R2 i cui vettori associati a 2 lati contigui sono a e b . (b) Dire come si calcola il volume di un parallelepipedo in R3 i cui…