04 Continuit e limiti di funzioni

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A–L) Continuit` a e limiti di funzioni Nota: questo file differisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Funzioni continue in un punto e in un insieme Siano D⊆ R, f : D→ R, x∈ D . Diciamo che f ` e continua in x se per ogni successione {xn} di elementi di D , che converge a x , la successione {f (xn)} converge a f (x). ↑ successione trasformata di {xn} tramite f Diciamo che f ` e discontinua in x se la condizione precedente non ` e verificata, cio` e se esiste almeno una successione di elementi di D , convergente a x , tale che la successione trasformata non converga a f (x). 1 Osservazioni L’insieme delle successioni di elementi di D che convergono a x ` e non vuoto. Esempi? Le nozioni di continuit` a e discontinuit` a inx hanno senso soltanto se x ` e nel dominio di f . La funzione reciproco NON ` e discontinua in x = 0!! Esempi La funzione x∈ R↦→ 3 x + 1 ` e continua in x = 0. La funzione segno ` e discontinua in x = 0. 2 Osservazioni (carattere locale della continuit` a) Se f ` e continua in x , lo ` e anche la restrizione di f a qualsiasi insieme che contenga x . Se esiste r∈ R∗ + tale che le funzioni f e g siano uguali in ] x− r, x + r [, allora f ` e continua in x se e solo se g ` e continua in x . Terminologia ] x− r, x + r [, con x∈ R e r∈ R∗ + : intorno di x ] a, +∞[, con a∈ R: intorno di +∞ ]−∞, a [, con a∈ R: intorno di −∞ 3 Teorema (caratterizzazione della continuit` a) Siano D⊆ R, f : D→ R, ¯x∈ D . Le seguenti affermazioni sono equivalenti: (a) f ` e continua in ¯x ; (b) per ogni ε∈ R∗ + esiste δ∈ R∗ + tale che per ogni x∈ D , con |x− ¯x|<δ , si ha |f (x)− f (¯x)|<ε ; (c) per ogni intorno V di f (¯x) esiste un intorno U di ¯x tale che f (D∩ U)⊆ V . Dimostrazione . . . 4