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Politecnico di Milano — Meccanica Razionale — Prova del 5.2.2016 In un piano verticale, il sistema di figura ` e costituito da una lamina qu adrata omogenea ABCD , di lato ℓ e massa M , vincolata a scorrere parallelamente ad un asse verticale liscio che pa ssa per il suo centro di massa. La lamina ` e collegata nei suoi vertici inferiori A, B a due aste omogenee AH, BK , di lunghezza ℓ e masse rispettivamente pari a m e 2 m. Gli estremi H, K delle aste sono collegati da una molla di costante elastica k, e si appoggiano su un asse orizzontale liscio. Statica. Determinare il valore della costante elastica k affinch´ e il sistema si mantenga in equilibrio quando l’asta AH determina l’angolo θ = π 3 con l’orizzontale. Dinamica. Si supponga ora che sulla lamina sia applicata la forza verticale F necessaria affinch´ e il moto avvenga con ˙θ = ω 0 costante. • Esprimere in funzione di ω 0 le velocit` a dei centri di massa G1 dell’asta AH e G2 dell’asta BK , e velocit` a e accelerazione del centro di massa G della lamina. • Calcolare l’energia cinetica del sistema, e determinare la forza F in funzione di θ. • Determinare le reazioni vincolari agenti sulle aste in H, K durante il moto proposto. θ A B CD H K k ℓ, m ℓ, 2 m ℓ, M F (solo din) Domanda di teoria. Atto di moto rigido piano. Teorema di Eulero. Centro di istantanea rotazione. Soluzione Il potenziale delle forze attive ` e U = − 3 2 mgℓ sin θ − M gℓ(sin θ + 1 2 ) − 1 2 kℓ2(2 cos θ + 1)2, da cui si ottiene la condizione di equilibrio U ′( π 3 ) = − 1 2 (M + 3 2 m)gℓ + 2kℓ2√ 3 = 0 = ⇒ k = (2M + 3m)g 8 √ 3ℓ . Detta y la quota del punto A, si ha y = ℓsin θ. Essendo (dal testo) ˙θ = ω 0, si ha vG1 = 1 2 ℓω0(sin θ i + cos θ j), vG2 = 1 2 ℓω0(− sin θ i + cos θ j) vG = ℓω0 cos θ j, aG = −ℓω 2 0 sin θ j. L’energia cinetica del sistema…