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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 5 maggio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. a) Al variare del parametro reale k , scrivere la soluzione generale dell’equazione y′′ + 2ky′− 3(2k + 3)y = 0 . b) Determinare un valore del parametro reale k per cui la funzione y(x) = ex2 sia una soluzione particolare dell’equazione differenziale y′′ + 2ky′− 3(2k + 3)y = (11− 12x + 4x2) ex2 (∗) c) In corrispondenza del valore di k trovato al punto precedente, scrivere la soluzione generale dell’equazione (∗) . Soluzione a) L’equazione caratteristica dell’equazione y′′ + 2ky′− 3(2k + 3)y = 0 ` eλ2 + 2kλ− 3(2k + 3) = 0 , le cui radici sono date da −k±|k + 3| Dunque, le due radici sono λ1 = 3 e λ2 =−2k− 3 . Se k =−3 , le radici sono coincidenti: λ1 =λ2 = 3 . Se k̸=−3 , le radici λ1 = 3 e λ2 =−2k− 3 sono distinte. La soluzione generale dell’equazione lineare omogenea y′′ + 2ky′− 3(2k + 3)y = 0 ` e quindi la seguente: i) Per k =−3 , A e3x +Bx e3x, A,B ∈ R ii) Per k̸=−3 , A e3x +B e(−2k−3)x, A,B ∈ R b) Se y(x) = ex2 , si ha y′(x) = 2x ex2 e y′′(x) = (2 + 4x2) ex2 . Sostituendo nelll’equazione (∗) si ottiene (4x2 + 4kx− 6k− 7) ex2 = (11− 12x + 4x2) ex2 ossia 4x2 + 4kx− 6k− 7 = 11− 12x + 4x2 I due polinomi 4x2 +4kx−6k−7 e 4 x2−12x+11 coincidono se e solo se hanno gli stessi coefficienti (Principio di identit` a dei polinomi). Questo accade se e solo se k =−3 . L’unico valore di k per il quale y(x) = e x2 ` e soluzione dell’equazione (∗) ` e pertantok =−3 . c) Per k =−3 ,…