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Algebra lineare e geometria Appello Docente: 5L u g l i o2 0 2 1 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1.Dato il sistema lineare nelle incognitex,yez: 8 >< >: x+2y+az=a+3 2x+3y+z=2 ax+5y+2z=7 a 1. si verifichi che l’insieme delle soluzioni inR3del sistema ` e una retta per esattamente due valori a1ea2del parametroa; 2. Siar1(rispettivamenter2) la retta delle soluzioni del sistema quandoa=a1(rispettivamente a=a2). Se le retter1er2sono incidenti, trovarne l’intersezione. Esercizio 2.SiaVlo spazio vettoriale delle matrici reali quadrate di ordine 2, la cui base canonica `e B= ⇢ E11= 10 00 ,E12= 01 00 ,E21= 00 10 ,E22= 00 01 . Data la matriceB= 02 20 si consideri l’applicazione lineareL:V!Vdefinita daL(A)=AB. 1. si scriva la matriceMche rappresentaLrispetto alla base canonica; 2. si determini, se possibile, una base diVformata da autovettori diM. Esercizio 3.SiaV={P(x)=a+bx+cx2:a, b, c2R}lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado2, e siaH={P(x)2V:P(2) = 0}. 1. si mostri cheH` e un sottospazio vettoriale diV; 2. si determini una base diHil cui primo elemento siaP1(x)=x 2. 3. posto hP(x),Q(x)i= Z2 0 P(x)Q(x)dx, eP1(x)=x 2 come sopra, si determiniP2(x) tale chehP1(x),P2(x)i=0e{P1(x),P2(x)}sia una base diH. Suggerimento: pu` o essere utile osservare che una primitiva dix(x a)2`e x(x a)3 3 (x a)4 12
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