05 09 2024

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University: Politecnico di Milano
Degree programme: Aerospace Engineering
Subject: Fisica delle Onde
Material language: Italian
Classification: Exercises · Complete set
Original format: PDF
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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 05/09/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ Campi (26pt) Una bobina di forma circolare di raggio 𝑟𝑟0 = 25 𝑐𝑐𝑐𝑐 composta da 𝑁𝑁 = 350 avvolgimenti giace sul piano 𝑥𝑥𝑥𝑥 ed �⃗ = ha il centro nell’origine del sistema di assi cartesiani. Essa è immersa in un campo magnetico di coordinate 𝐵𝐵 𝐵𝐵0 /𝑟𝑟0 (−𝑥𝑥, −𝑦𝑦, 2𝑧𝑧) con 𝐵𝐵0 = 3.8 𝑇𝑇. Una massa 𝑚𝑚 viene attaccata alla bobina e si deve far scorrere una corrente 𝐼𝐼 = 30 𝐴𝐴 nella bobina per ottenere una forza magnetica uguale e contraria alla forza di gravità. C.1) �⃗(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 0) Calcolare il valore della massa 𝑚𝑚. [Hint: puo’ essere utile disegnare le linee di campo di 𝐵𝐵 (campo magnetico nel piano della bobina)] Successivamente si scollega la massa e la bobina viene fatta muovere lungo l’asse z con velocità 𝑢𝑢. In questo caso si misura una f.e.m. indotta 𝑉𝑉0 = 52 𝑉𝑉. C.2) Calcolare la velocità 𝑢𝑢. 2 Si assuma ora e per il resto del problema che 𝐵𝐵0 = 𝐵𝐵0′ = 2𝑇𝑇 e la resistenza della bobina 𝑅𝑅 = Ω: 3 C.3) Calcolare la carica Δ𝑄𝑄 che scorre nella bobina dopo una rotazione di 180𝑜𝑜 attorno all’asse 𝑥𝑥. Si porti ora la corrente nella bobina a 0, 𝐼𝐼 ′ = 0. Si pone nell’origine dove 𝐵𝐵�⃗ = 0 un dipolo magnetico con momento 𝜇𝜇⃗ = (𝜇𝜇, 0,0), 𝜇𝜇 = 10 𝑛𝑛𝑛𝑛. C.4) Calcolare la forza 𝐹𝐹⃗𝑑𝑑 sul dipolo (indicare in tabella il modulo, nella risoluzione estesa indicare direzione e verso). 𝑟𝑟 Si ruota il dipolo di 90𝑜𝑜 attorno all’asse y. Si assuma che sia costituito da una spira quadrata di lato 𝑎𝑎 = 0 . 100 C.5) Calcolare il coefficiente di mutua…

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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 05/09/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ O.3) Si aumenta la distanza 𝑑𝑑 tra le fenditure, con 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻1. Calcolare la minima distanza 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑2 > 𝑑𝑑1 per cui l’intensità è nuovamente uniforme. Si riempie lo spazio tra lo schermo opaco e il piano 𝜋𝜋𝑥𝑥𝑥𝑥 con un dielettrico con 𝑛𝑛 = 1.5 e si rimuove lo schermo opaco. Si assuma che la potenza di ciascuna sorgente sia 𝑃𝑃𝑠𝑠 = 1 𝑘𝑘𝑘𝑘. O.4) Calcolare l’intensità 𝐼𝐼` nella zona centrale del piano 𝜋𝜋𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥 = 0, 𝑦𝑦 = 0). Si tenga conto anche della trasmissione verso il dielettrico. O.5) Calcolare il campo magnetico B sulla superficie del dielettrico per 𝑥𝑥 = 0, 𝑦𝑦 = 0. Si tenga conto anche della (singola) riflessione sulla superficie del dielettrico. Risposta × 10𝑛𝑛 Unità di misura 𝑋𝑋20 1.3 2.5 5.0 9.0 𝐻𝐻1 1.2 2.0 3.7 6.6 𝑑𝑑2 2.4 4.5 6.0 7.7 𝐼𝐼` 1.5 3.5 5.2 8.0 𝐵𝐵 1.4 4.0 6.5 8.8 Relatività (26pt) In un esperimento di laboratorio una particella di vita media propria 𝜏𝜏 = 2 × 10−13 𝑠𝑠 percorre in media 60 𝜇𝜇𝜇𝜇 (nel laboratorio) prima di decadere. 1. Calcolare la sua velocità 𝛽𝛽 = 𝑣𝑣/𝑐𝑐 nel sistema di riferimento del laboratorio 2. Calcolare, nel sistema di riferimento della particella, la distanza 𝐿𝐿` (in media) tra il punto di produzione e il punto di decadimento della particella nel laboratorio. Risposta × 10𝑛𝑛 Unità di misura 𝛽𝛽 2.1 4.3 6.3 7.1 𝐿𝐿` 3.0 4.3 6.9 9.1

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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 05/09/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ Soluzioni Campi C.1) �⃗ della bobina agisce una forza Su ogni elemento 𝑑𝑑ℓ �⃗ × 𝐵𝐵 𝑑𝑑𝐹𝐹⃗ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑ℓ �⃗ 𝐵𝐵 �⃗(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 0) = 0 (−𝑥𝑥, −𝑦𝑦, 0) ha direzione radiale (ricordiamo che nel Nel piano 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑧𝑧 = 0) il campo magnetico 𝐵𝐵 𝑟𝑟 0 piano 𝑥𝑥𝑥𝑥 il vettore posizione in coordinate cartesiane si scrive 𝑟𝑟⃗ = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)), quindi ortogonale in ogni punto alla circonferenza che definisce la bobina, vale 𝐵𝐵0 𝑑𝑑𝐹𝐹⃗ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑ℓ 𝑟𝑟0 𝑧𝑧̂ 𝑟𝑟0 Integrando la forza su tutta la circonferenza della bobina si ottiene �⃗ × 𝐵𝐵 𝐹𝐹⃗ = 𝐼𝐼𝐼𝐼 � 𝑑𝑑ℓ �⃗ = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵0 2𝜋𝜋𝑟𝑟0 𝑧𝑧̂ Questa forza è uguale (e contraria) alla forza peso della massa 𝑃𝑃�⃗ = −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧̂ per cui 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵0 2𝜋𝜋𝑟𝑟0 𝑚𝑚 = = 6.39 × 103 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑔𝑔 Allo stesso risultato si poteva giungere calcolando dapprima il momento magnetico della bobina 𝜇𝜇⃗𝑏𝑏 = 𝜋𝜋𝑟𝑟02 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑧𝑧̂ = 𝜋𝜋𝑟𝑟02 𝑁𝑁𝑁𝑁(0,0,1) E quindi calcolando 𝐵𝐵 �⃗ = −𝜋𝜋𝑟𝑟02 𝑁𝑁𝑁𝑁 0 2𝑧𝑧 = −2𝜋𝜋𝑟𝑟0 𝐵𝐵0 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = −𝜇𝜇⃗𝑏𝑏 ⋅ 𝐵𝐵 𝑟𝑟0 La forza magnetica sulla bobina è 𝐹𝐹⃗ = −∇𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)|(𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧)=(0,0,0) = 2𝜋𝜋𝑟𝑟0 𝐵𝐵0 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑧𝑧̂ Notiamo che quest’ultimo approccio fornisce esattamente lo stesso risultato, indipendentemente dal valore di 𝑟𝑟0 , quindi non solo in approssimazione di bobina piccola, questo perché il campo 𝐵𝐵�⃗ dipende linearmente dalle coordinate spaziali. C.2) Il flusso del campo magnetico è definito come 𝐵𝐵0 𝐵𝐵0 𝐵𝐵0 �⃗� = 𝑁𝑁 �…

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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 05/09/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ 𝜇𝜇0 𝐼𝐼 𝑟𝑟02 𝜇𝜇0 𝐼𝐼 �⃗𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 (𝑧𝑧)� 𝐵𝐵 = 𝑁𝑁 𝒛𝒛�� = 𝑁𝑁 𝒛𝒛� 𝑧𝑧=0 2 2 (𝑟𝑟0 + 𝑧𝑧 )2 3 ⁄2 2𝑟𝑟0 𝑧𝑧=0 Il cui flusso attraverso la spiretta è 𝜇𝜇0 𝐼𝐼 𝑟𝑟0 2 𝜇𝜇0 𝑟𝑟0 2 �⃗𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 � = 𝑁𝑁 Φ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝐵𝐵 � � = 𝑀𝑀𝑀𝑀 ⇒ 𝑀𝑀 = 𝑁𝑁 � � = 5.5 × 10−9 𝐻𝐻 2𝑟𝑟0 100 2𝑟𝑟0 100 Onde O.1) L’onda che proviene dalla sorgente 𝑆𝑆2 giunge sulle fenditure con fronte d’onda approssimativamente piano e con direzione di propagazione che forma un angolo 𝐻𝐻 𝐻𝐻 𝜃𝜃𝑖𝑖 = atan � � ≃ = 2.5 × 10−3 2𝐿𝐿 2𝐿𝐿 rispetto alla normale al piano delle fenditure. Le sorgenti 1 2 si comportano quindi come sorgenti coerenti ma non sincrone, con uno sfasamento intrinseco Δ𝜙𝜙0 = 𝜙𝜙1 − 𝜙𝜙2 = 𝑘𝑘(𝐿𝐿2 − 𝐿𝐿1 ) ≃ −𝑑𝑑 sin 𝜃𝜃𝑖𝑖 Questo si puo’ facilmente calcolare considerando le fasi delle due onde quando giungono sulle fenditure: 𝜙𝜙1 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝐿𝐿1 𝜙𝜙2 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝐿𝐿2 Le due fenditure sono quindi sorgenti secondarie di onde coerenti ma sfasate di Δ𝜙𝜙0 = 𝜙𝜙1 − 𝜙𝜙2 = 𝑘𝑘(𝐿𝐿2 − 𝐿𝐿1 ) ≃ −𝑑𝑑 sin 𝜃𝜃𝑖𝑖 Quando le onde giungono sul piano 𝜋𝜋𝑥𝑥𝑥𝑥 le loro fasi sono 𝜑𝜑1 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑟𝑟1 + Δ𝜙𝜙0 𝜑𝜑2 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑟𝑟2 con uno sfasamento totale 𝛿𝛿 = 𝜑𝜑1 − 𝜑𝜑2 = Δ𝜙𝜙0 + 𝑘𝑘(𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟1 ) = Δ𝜙𝜙0 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃 La figura di interferenza che si osserva nel piano 𝜋𝜋𝑥𝑥𝑥𝑥 ha intensità 𝛿𝛿 𝐼𝐼(𝛿𝛿) = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 2�𝐼𝐼1 𝐼𝐼2 cos 𝛿𝛿 = 4𝐼𝐼1 cos2 2 I massimi si hanno per 2𝜋𝜋…

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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 05/09/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relativita’ □ Dimostrazione □ Quando i massimi di 𝑆𝑆1 coincidono con i minimi di 𝑆𝑆2 si ha che l’intensità totale data dalla somma delle intensità (le onde da 𝑆𝑆1 e 𝑆𝑆2 NON interferiscono) e’ uniforme in 𝑦𝑦 (somma di 𝛿𝛿 𝛿𝛿 𝜋𝜋 𝛿𝛿 𝛿𝛿 cos2 � � + cos2 � + � = cos2 � � + sin2 � � = 1) 2 2 2 2 2 Si pone quindi 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐻𝐻1 𝜆𝜆 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐻𝐻1 2𝑚𝑚2 + 1 𝜆𝜆 𝜃𝜃𝑚𝑚1 = − + 𝑚𝑚1 = 𝜃𝜃𝑚𝑚2 = + ⋅ → 2𝐿𝐿 𝑑𝑑1 2𝐿𝐿 2 𝑑𝑑1 𝐻𝐻1 𝜆𝜆 = (2𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚1 + 1) 𝐿𝐿 2𝑑𝑑1 Il piu’ piccolo 𝐻𝐻1 si ottiene per 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 per cui 𝜆𝜆 6 ⋅ 10−7 𝐻𝐻1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐿𝐿 = 103 ⋅ = 20 𝑚𝑚 2𝑑𝑑1 2 ⋅ 15 ⋅ 10−6 O.3) Dalla condizione di uniformità si è ricavato che 𝐻𝐻1 𝜆𝜆 = (2𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚1 + 1) (∗) 𝐿𝐿 2𝑑𝑑1 𝜆𝜆 → 𝑑𝑑1 = 𝐿𝐿 (2𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚1 + 1) con 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 2𝐻𝐻1 La relazione (∗) è ancora soddisfatta se 𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚1 + 1 per cui 𝜆𝜆 𝑑𝑑2 = 𝐿𝐿 (2 + 1) = 3𝑑𝑑1 = 45 𝜇𝜇𝜇𝜇 2𝐻𝐻1 O.4) La trasmissione attraverso il dielettrico comporta l’attraversamento di due interfacce, ognuna con una riduzione dell’intensità di 1 − 𝑛𝑛 2 𝑇𝑇 = 1 − 𝑅𝑅 = 1 − 𝑟𝑟 2 = 1 − � � 1 + 𝑛𝑛 L’intensità risultante è 𝐼𝐼 ′ = 2𝐼𝐼1 𝑇𝑇 2 = 1.47 × 10−4 𝑊𝑊/𝑚𝑚2 𝑃𝑃𝑠𝑠 𝑃𝑃 Dove 𝐼𝐼1 = ≃ 4𝜋𝜋𝐿𝐿𝑠𝑠 2 4𝜋𝜋(𝐿𝐿+𝐷𝐷)2 O.5) L’intensità dell’onda che si propaga all’interno del dielettrico è 1 𝐼𝐼𝑇𝑇 = 2𝐼𝐼1 𝑇𝑇 = 𝜖𝜖0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐸𝐸𝑖𝑖2 = 1.53 × 10−4 𝑊𝑊/𝑚𝑚2 2 Dove con 𝐸𝐸𝑖𝑖 abbiamo indicato il campo elettrico che incide sull’interfaccia dielettrico-aria. Il campo riflesso 𝐸𝐸𝑟𝑟 ha ampiezza 𝐸𝐸𝑟𝑟 =…

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