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Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 14/02/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relatività □ Dimostrazione □ Campi (26 pt) Una sbarra conduttrice di massa 𝑚𝑚 = 60 𝑔𝑔 striscia senza attrito su due guide parallele distanti 𝑙𝑙 = 1.2 𝑚𝑚. Due estremità delle guide sono connesse ad un condensatore di capacità 𝐶𝐶 = 50 𝜇𝜇𝜇𝜇. Il tutto è immerso in un campo magnetico costante e uniforme 𝐵𝐵 = 0.8 𝑇𝑇 ortogonale al piano del circuito come in figura. Si assuma che il circuito abbia resistenza totale costante (indipendentemente dalla posizione della sbarra) pari a 𝑅𝑅 = 30 Ω. Per 𝑡𝑡 < 0 l’interruttore 𝑇𝑇 è aperto, il condensatore è scarico e la sbarra si muove a velocità costante 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣𝑥𝑥� = 6 𝑚𝑚/𝑠𝑠. All’istante 𝑡𝑡0 = 0 l’interruttore 𝑇𝑇 viene chiuso e per 𝑡𝑡 ≥ 0 agisce sulla sbarra una forza esterna 𝐹𝐹⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 che mantiene la velocità della sbarra costante anche in queste condizioni. C.1) Calcolare la corrente che scorre nel circuito immediatamente dopo la chiusura del circuito, + 𝐼𝐼(0 ). C.2) Calcolare la costante di tempo del circuito, 𝜏𝜏. C.3) Calcolare il modulo e verso (lo si indichi in tabella con un segno) della forza esterna al tempo 𝑡𝑡1 = 3 𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝐹𝐹⃗1 . C.4) Calcolare la carica nel condensatore, 𝑄𝑄2 , al tempo 𝑡𝑡2 = 20 𝑠𝑠. C.5) Calcolare il lavoro totale, 𝑊𝑊, eseguito dalla forza esterna nell’intervallo di tempo [0, 𝑡𝑡2 ]. Al tempo 𝑡𝑡2 la forza esterna viene spenta (𝐹𝐹⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0 per 𝑡𝑡 > 𝑡𝑡2 ). C.6) Calcolare la velocità della sbarra, 𝑣𝑣3 , al tempo 𝑡𝑡3 = 𝑡𝑡2 + 1 𝑠𝑠. Risposta × 10𝑛𝑛 Unita’ di misura C.1) 𝐼𝐼(0+ ) 1.9 2.9 6.2 8.3 9.0 C.2)…
Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 14/02/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relatività □ Dimostrazione □ Soluzioni Campi C.1) Definiamo come normale positiva il versore 𝑧𝑧̂ , il flusso del campo magnetico concatenato con il circuito e’ Φ�𝐵𝐵�⃗ � = −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 La f.e.m. indotta a causa del moto della sbarretta e’ 𝑑𝑑Φ�𝐵𝐵 �⃗� ℰ𝑖𝑖 = − = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑 Questa f.e.m. è costante, quindi si tratta del caso noto un circuito RC alimentato da un generatore a tensione costante. Volendo scrivere le equazioni del circuito si ha: 𝑄𝑄 ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑉𝑉𝐶𝐶 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑 Che portano a 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑄𝑄 ℰ𝑖𝑖 ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 + → + = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅 Le condizioni iniziali sono 𝑄𝑄(0) = 0. La soluzione è (come abbiamo anche visto in laboratorio) 𝑄𝑄(𝑡𝑡) = ℰ𝑖𝑖 𝐶𝐶(1 − 𝑒𝑒 −𝑡𝑡⁄𝑅𝑅𝑅𝑅 ) La corrente (che si può ottenere derivando): ℰ𝑖𝑖 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑡𝑡⁄𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅 La corrente a 𝑡𝑡 = 0+ vale: ℰ𝑖𝑖 𝐼𝐼(0+ ) = = 0.192 𝐴𝐴 𝑅𝑅 𝑄𝑄 Alla stessa conclusione di poteva giungere anche senza risolvere l’equazione ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐶𝐶 ℰ Al tempo 𝑡𝑡 = 0 infatti 𝑄𝑄(0) = 0 e quindi ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅(0+ ) → 𝐼𝐼(0+ ) = 𝑖𝑖 𝑅𝑅 C.2) La costante di tempo del circuito RC serie e’ 𝜏𝜏 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1.5 𝑚𝑚𝑚𝑚 C.3) Le forze che agiscono sulla sbarretta sono la forza magnetica e la forza esterna. Ma essendo il moto rettilineo uniforme vale 𝐹𝐹⃗𝑚𝑚 + 𝐹𝐹⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0 La forza magnetica cui e’ sottoposta la sbarretta e’ ℰ𝑖𝑖 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 (𝐵𝐵𝐵𝐵)2 𝑣𝑣 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 ⃗ ⃗ �⃗ ⃗ 𝐹𝐹𝑚𝑚 = 𝐼𝐼𝑙𝑙 × 𝐵𝐵 = −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑥𝑥� → 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒…
Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 14/02/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relatività □ Dimostrazione □ Relativita’ R.1) Nel riferimento del laboratorio il tempo tra il decadimento e l’urto con l’estremità del tubo è Δ𝑡𝑡 = 𝐿𝐿⁄𝑣𝑣 dove 𝐿𝐿 = 1𝑚𝑚 è la distanza percorsa da uno dei frammenti. D’altro canto, questo è un intervallo di tempo improprio tra due eventi che avvengono in luoghi differenti. Nel sistema di riferimento S’ del frammento gli eventi avvengono nello stesso luogo (la posizione del frammento stesso) per cui l’intervallo di tempo Δ𝑡𝑡′ è un intervallo di tempo proprio e si ha Δ𝑡𝑡 = 𝛾𝛾Δ𝑡𝑡′. Eguagliando le due espressioni ed esplicitando la dipendenza da 𝑣𝑣 si ha Δ𝑡𝑡′ 𝐿𝐿 = (∗) �1 − 𝑣𝑣 2 ⁄𝑐𝑐 2 𝑣𝑣 1 Da cui 𝑣𝑣 = = 2.23 × 108 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠 �1⁄𝑐𝑐 2 +(Δ𝑡𝑡′⁄𝐿𝐿 )2 Alla medesima soluzione si poteva giungere considerando i due sistemi di riferimento con le origini coincidenti al tempo 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 ′ = 0. Le trasformazioni di Lorentz che legano i due riferimenti sono 𝑥𝑥 ′ = 𝛾𝛾(𝑥𝑥 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽) 𝑐𝑐𝑡𝑡 ′ = 𝛾𝛾(𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝛽𝛽𝛽𝛽) Il decadimento (evento A) avviene a 𝑡𝑡𝐴𝐴 = 𝑡𝑡𝐴𝐴′ = 0 e 𝑥𝑥𝐴𝐴 = 𝑥𝑥𝐴𝐴′ = 0. L’evento B: “il frammento raggiunge l’estremità del tubo” avviene per 𝑡𝑡𝐵𝐵 = 𝐿𝐿/𝑣𝑣, 𝑥𝑥𝐵𝐵 = 𝐿𝐿 in S, 𝑡𝑡𝐵𝐵′ = 𝑡𝑡1′ = 3 𝑛𝑛𝑛𝑛, 𝑥𝑥𝐵𝐵′ in S’. Vale: ′ 𝐿𝐿 1 1 − 𝛽𝛽2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝑐𝑐𝑡𝑡𝐵𝐵 = 𝛾𝛾(𝑐𝑐𝑡𝑡𝐵𝐵 − 𝛽𝛽𝑥𝑥𝐵𝐵 ) = 𝛾𝛾 �𝑐𝑐 − 𝛽𝛽𝛽𝛽� = 𝛾𝛾𝛾𝛾 � − 𝛽𝛽� = 𝛾𝛾𝛾𝛾 = = 𝑐𝑐𝑡𝑡1′ → = 𝑡𝑡1′ 𝛾𝛾 𝑣𝑣 𝛽𝛽 𝛽𝛽 𝛽𝛽𝛽𝛽 𝛽𝛽𝛽𝛽 Che è equivalente alla (*). R.2) Nel riferimento S il secondo frammento ha una velocità 𝑢𝑢 = −𝑣𝑣.…
Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 14/02/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relatività □ Dimostrazione □ Soluzioni Campi C.1) Definiamo come normale positiva il versore 𝑧𝑧̂ , il flusso del campo magnetico concatenato con il circuito e’ Φ�𝐵𝐵�⃗ � = −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 La f.e.m. indotta a causa del moto della sbarretta e’ 𝑑𝑑Φ�𝐵𝐵 �⃗� ℰ𝑖𝑖 = − = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑 Questa f.e.m. è costante, quindi si tratta del caso noto un circuito RC alimentato da un generatore a tensione costante. Volendo scrivere le equazioni del circuito si ha: 𝑄𝑄 ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑉𝑉𝐶𝐶 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑 Che portano a 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑄𝑄 ℰ𝑖𝑖 ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 + → + = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅 Le condizioni iniziali sono 𝑄𝑄(0) = 0. La soluzione è (come abbiamo anche visto in laboratorio) 𝑄𝑄(𝑡𝑡) = ℰ𝑖𝑖 𝐶𝐶(1 − 𝑒𝑒 −𝑡𝑡⁄𝑅𝑅𝑅𝑅 ) La corrente (che si può ottenere derivando): ℰ𝑖𝑖 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑡𝑡⁄𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅 La corrente a 𝑡𝑡 = 0+ vale: ℰ𝑖𝑖 𝐼𝐼(0+ ) = = 0.224 𝐴𝐴 𝑅𝑅 𝑄𝑄 Alla stessa conclusione di poteva giungere anche senza risolvere l’equazione ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝐶𝐶 ℰ Al tempo 𝑡𝑡 = 0 infatti 𝑄𝑄(0) = 0 e quindi ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅(0+ ) → 𝐼𝐼(0+ ) = 𝑖𝑖 𝑅𝑅 C.2) La costante di tempo del circuito RC serie e’ 𝜏𝜏 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 1.6 𝑚𝑚𝑚𝑚 C.3) Le forze che agiscono sulla sbarretta sono la forza magnetica e la forza esterna. Ma essendo il moto rettilineo uniforme vale 𝐹𝐹⃗𝑚𝑚 + 𝐹𝐹⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0 La forza magnetica cui e’ sottoposta la sbarretta e’ ℰ𝑖𝑖 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 (𝐵𝐵𝐵𝐵)2 𝑣𝑣 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 ⃗ ⃗ �⃗ ⃗ 𝐹𝐹𝑚𝑚 = 𝐼𝐼𝑙𝑙 × 𝐵𝐵 = −𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑥𝑥� → 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒…
Prima appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2023/24 - 14/02/2024 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Canale:_______ Consegna: Campi □ Onde □ Relatività □ Dimostrazione □ Relativita’ R.1) Nel riferimento del laboratorio il tempo tra il decadimento e l’urto con l’estremità del tubo è Δ𝑡𝑡 = 𝐿𝐿⁄𝑣𝑣 dove 𝐿𝐿 = 1𝑚𝑚 è la distanza percorsa da uno dei frammenti. D’altro canto, questo è un intervallo di tempo improprio tra due eventi che avvengono in luoghi differenti. Nel sistema di riferimento S’ del frammento gli eventi avvengono nello stesso luogo (la posizione del frammento stesso) per cui l’intervallo di tempo Δ𝑡𝑡′ è un intervallo di tempo proprio e si ha Δ𝑡𝑡 = 𝛾𝛾Δ𝑡𝑡′. Eguagliando le due espressioni ed esplicitando la dipendenza da 𝑣𝑣 si ha Δ𝑡𝑡′ 𝐿𝐿 = (∗) �1 − 𝑣𝑣 2 ⁄𝑐𝑐 2 𝑣𝑣 1 Da cui 𝑣𝑣 = = 2.23 × 108 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠 �1⁄𝑐𝑐 2 +(Δ𝑡𝑡′⁄𝐿𝐿 )2 Alla medesima soluzione si poteva giungere considerando i due sistemi di riferimento con le origini coincidenti al tempo 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 ′ = 0. Le trasformazioni di Lorentz che legano i due riferimenti sono 𝑥𝑥 ′ = 𝛾𝛾(𝑥𝑥 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽𝛽) 𝑐𝑐𝑡𝑡 ′ = 𝛾𝛾(𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝛽𝛽𝛽𝛽) Il decadimento (evento A) avviene a 𝑡𝑡𝐴𝐴 = 𝑡𝑡𝐴𝐴′ = 0 e 𝑥𝑥𝐴𝐴 = 𝑥𝑥𝐴𝐴′ = 0. L’evento B: “il frammento raggiunge l’estremità del tubo” avviene per 𝑡𝑡𝐵𝐵 = 𝐿𝐿/𝑣𝑣, 𝑥𝑥𝐵𝐵 = 𝐿𝐿 in S, 𝑡𝑡𝐵𝐵′ = 𝑡𝑡1′ = 3 𝑛𝑛𝑛𝑛, 𝑥𝑥𝐵𝐵′ in S’. Vale: 𝐿𝐿 1 1 − 𝛽𝛽2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝑐𝑐𝑡𝑡𝐵𝐵′ = 𝛾𝛾(𝑐𝑐𝑡𝑡𝐵𝐵 − 𝛽𝛽𝑥𝑥𝐵𝐵 ) = 𝛾𝛾 �𝑐𝑐 − 𝛽𝛽𝛽𝛽� = 𝛾𝛾𝛾𝛾 � − 𝛽𝛽� = 𝛾𝛾𝛾𝛾 = = 𝑐𝑐𝑡𝑡1′ → = 𝑡𝑡1′ 𝛾𝛾 𝑣𝑣 𝛽𝛽 𝛽𝛽 𝛽𝛽𝛽𝛽 𝛽𝛽𝛽𝛽 Che è equivalente alla (*). R.2) Nel riferimento S il secondo frammento ha una velocità 𝑢𝑢 = −𝑣𝑣.…
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