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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 6 Luglio 2022 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Supponiamo di avere un campione i.i.d. estratto dalla popolazione avente densit` a fX(x;θ) = 3x2 θ3 I[0,θ](x), θ> 0. (1) Determinare lo stimatore MLE ˆθ di θ. (2) ˆθ ` e non distorto?`E asintoticamente non distorto? (3) ˆθ ` e consistente? (4) Determinare la regione critica del test del rapporto di verosimiglianza di livello α per H0 : θ = θ0 controH1 :θ ̸=θ0. (5) Ricavare la funzione potenza del test appena trovato. 1 Esercizio 2. Una certa tipologia sperimentale di componente elettronico ha una durata di funzionamento dell’ordine di pochi giorni. Si sa che, se il tempo ` e misurato in giorni, allora la durata T ha densit` a fT (t;θ) = 2θt e−θt2 I(0,+∞)(t), θ> 0, ma purtroppo per ragioni di segretezza non ` e possibile ottenere direttamente i dati riguardanti le durate. Preso un lotto di n componenti, l’unica informazione che possiamo conoscere ` e il numero K di questi che risulteranno ancora funzionanti dopo 48 ore (2 giorni) di utilizzo. (1) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di p = P (la durata supera 48 ore). (2) Sulla base dei dati in nostro possesso (numero di componenti la cui durata ha superato 48 ore) determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di θ. (3) Nell’ipotesi che il nostro campione sia sufficientemente numeroso, determinare sulla base delle infor- mazioni in nostro possesso un intervallo di confidenza per θ. Da adesso in avanti, supponiamo di avere accesso all’intero campione T1,...,T n, ovvero alle…
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