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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 7-2-2018 Esercizio 1. a. Calcolare il valore del seguente limite lim x→0 ex2 − cos(2x) ln(1 + 5x)− 5 sinx. b. Determinare le soluzioni dell’equazione complessa z2−zz− 2 iz = 0. Soluzioni a. Perx→ 0, valgono gli sviluppi: ex2 = 1 +x2 +o(x2) cos(2 x) = 1− 2x2 +o(x3) ln(1 + 5x) = 5x− 25 2 x2 +o(x2) sin x =x− 1 6x3 +o(x4) Dunque: lim x→0 ex2 − cos(2x) ln(1 + 3x)− 3 sinx = lim x→0 1 +x2 +o(x2)− 1 + 2x2 +o(x3) 3x− 25 2x2− 3x +o(x2) = lim x→0 3x2 +o(x2) − 25 2x2 +o(x2) =− 6 25. b. Notiamo subito che z = 0 ` e soluzione dell’equazione. Ricordando inoltre che 1/i =−i, possiamo quindi dividere per z per ottenere l’equazione pi` u semplice z−z + 2i = 0. Rappresentiamo oraz =x+iy, conx,y∈ R incogniti, e sostituiamo tale rappresentazione nell’equazione, per ottenere x +iy−x +iy + 2i = 2i(y + 1) = 0. Le soluzioni di quest’ultima equazione sono quindi tutti i numeri complessi che hanno parte immaginaria −1. Riassumendo, le soluzioni dell’equazione di partenza sono {0}∪{ z =x +iy :y =−1}. Esercizio 2. Si consideri la matrice quadrata 3 × 3 ` e: A =   0 −1 −1 −1 0 −1 1 1 2  . a. Determinare autovalori e autovettori di A; b. stabilire se A ` e diagonalizzabile e, in questo caso, si esibiscano una matrice diagonale Λ ed una matrice invertibileP tali che P−1AP = Λ; c. stabilire per quali α∈ R i vettori vα = [1,α, 2]T e Avα sono ortogonali. Soluzioni a. Abbiamo det(A−λI3) = det   −λ −1 −1 −1 −λ −1 1 1 2 −λ   =−λ(λ− 1)2. Di conseguenza, gli autovalori di A sono λ1 = 0 (con molteplicit` a algebrica 1) e λ2 = 1 (con molteplicit` a algebrica 2). Per trovare gli autovettori, risolviamo i sistemi Ax = 0 ⇐⇒   0 −1 −1 −1 0 −1 1 1 2     x y z   =   0 0 0   ⇐⇒    −y−z = 0 −x−z = 0 x +y + 2z = 0…