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INSIEMISTICA DEFINIZIONE MASSIMO e MINIMO es . A = [xe 1/0 = x 52} , max A = 2 , mint = 0 Sia A = IR , . A + * Si dice che : es . B = 4xe /0 + x 53] , maxB = 3 , mimBA · MEA è il max di A se Ma , Fatt es C = /meN] , maxc = 1 , min c I · mEA è il min di A se mea , fa EA es . D = [x1/x3] , maxDX , minD I DEFINIZIONE MAGGIORANTE e MINORANTE Sia ACR , A q; Si dice che : es . A = 4x IR(x 3} > LE di A tutti è maggiorante se L=a Fatt minoranti sono i numeri 3 · un , · e EIR è un minorante di A se la taE A , non ci sono maggioranti DEFINIZIONE INSIEME LIMITATO SUPERIORMENTE e INFERIORMENTE Sia AER , A + 0 . Si dice che : A è limitato superiormente se ammette alment maggiorante . un . A è limitato inferiormente se ammette almeno un minorante · A è limitato se lo è sia superiormente che inferiormente cioé 7 L , le / Carl FatA , , DEFINIZIONE ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE 4 (men 3 + Sia . Si dice che : AEIR , A + 0 es . A = infa * · L - I è l'estremo superiore di A(sup(A)) se : maxA I = 1 , supA = 1 , minAX , = 0 L * è maggiorante di A = a I insieme è limitato ↳ piccolo a - un - L ** L , L maggiorante di A d es . B : [mmen = B : 20, l'estremo inferiore di A(inf(t) se * · l E I è : maxBX , supB = 1 , minB = 0 , infB 0 = * l è minorante di A B è limitato ↳ piùgrandedi - un - l* C C minorante di A , DEFINIZIONE INTERVALLO Sia intervallo "FX ↑diceche un se e XzEI con X,X allora se , , , DEFINIZIONE INTORNO DI To Sia X ER e Se IR/Sco L'intorno di xo è l'intervallo (Xo-5 x + 5)immuni ↓ . . . , to-8 YotS DEFINIZIONE PUNTO D'ACCUMULAZIONE Sia A CIR A + e sia X. ER . Si dice che X. è un punto di accumulazione per A 11 se vale che " Sco : 14-5 x 5) (x) da + 0 , . + - , [/ME N 3 50 è punto d'accumulazione + es . A : es . B = [0 3) 02 Xo3 , sono punti d'accumulazione es . C = N * punti di…
Le FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE DEFINIZIONE DOMINIO dom (f) [x( (R)] f(x)] = D(f) , C . E . sono altri modi per descrivere il dominio DEFINIZIONE INSIEME IMMAGINE (m(f) 4f(x)) + x dom (f)}= DEFINIZIONE GRAFICO G(f) ((x f(x))(v = , x e dom (8)3 OPERAZIONI TRA FUNZIONI Siamo f D(f) : -- IR e g D(g) -- : (D(g) 1 D(f) + 0 Allora . nell'insieme D = P(f) 1 D(g) si , definire le funzioni f+ G 8 G 8 g nel seguente modo possono /g . - , , . , · (f g)(x) f(x) g(x) + = + · ( g)(x) f(x) g(x) - = - XED · (f.g)(x) f(x) g() = . · (1g)(x) = g(x) FUNZIONE CRESCENTE , DECRESCENTE e MONOTONA Sia f I-o R I CIR intervallo. Si dice che segue : : , I f è crescente in I se da X ,, I , X , Ex =0 f(x ) f(xz) , = #f e decrescente in I se da X , x &I , X , = Xz =D f(x ) f(x) , # f è strattamente crescente in I se da X ,, x I , X, X =0 f(x ) , = f(xz) E f è strattamente decrescente in I se da X , x EI , X, = x = D f(x ( f(x)) , I f è monotona in I se è crescente o decrescente in I # f è strettamente monotona in I se è strettamente crescente o decrescente in I DEFINIZIONE FUNZIONE LIMITATA SUPERIORMENTE e INFERIORMENTE Sia J : D-PR . Si dice che f e : T - superiormente limitata / f) =K EXED/ cioé Im /f) è superiormente limitato) se 7 KEIR , Il inferiormente limitata se 7h-AR/f() h FxED (cioé /f) e inferiormente limitato) , m # limitata - se 7 I he 1) h f() U =x D (cioé (m(f) è limitato , = = , es f(x) (x) . e inf limitata = es . f(x) - è sup. Limitato = es . f(x) seux è limitato = DEFINIZIONE ESTREMI DI UNA FUNZIONE Sia f : D-R e sia X. ED . Si dice che to è un punto di fr f(x) S ↑ massimo anoluto se #xED ~ - massimominimo assoluto/globale , I - minimo anoluto se f(x) = f(x) , x D 7 Sco/f(xd) = f(x) , * x = D1(o 8 to 5) & # manimo relativo se + Massimo/Minimo Relativo/locale - , # minimo…
DEFINIZIONE FUNZIONE SURIETTIVA " Sia f : D-1 B , BEIR Si dice . che f è suriettiva da D su B se B=(m(f) , cioé se "FbeB , 7 xcD/fk) b = /se ugni elemento di B è -S : ~ & · · > B immagine di almeno ma "B D S > elemento di D) 055 algebrica f seriettivaa f(x) b ha almeno una X soluzione : = . in D , fbEB " vainternet DEFINIZIONE FUNZIONE INIETTIVA Una funzione f D-B Si dice : > iniettiva se "AbeB evite al più , un x D/8(x) y" - è né & O : non : * D. suriettiva ne iniettiva > 055 allebrica . : f iniettiva f(x) b ha al più n = una soluzione in D, FbeB DEFINIZIONE FUNZIONE BIUNIVOCA O BIETTIVA Una funziona f D-B si dice biunivoca suriettiva : se f è iniettiva e da Da B sola 055 algebrica l'equazione f(x) b annette . : = una ed una soluzione in DFbEB DEFINIZIONE FUNZIONE INVERSA Sia f : D- Im (f) , f biunivoca . Sia y Elm /f) = I ! xe D/ f .La funzione zy inversa f' è f y x : , dove XD e f) y = . Me segue che Dff") = Im (f) , (m (f") = D(f) f(8"(y))f(7) d 1 nure proprietà f - · S 1 I [ gof(x) f " (f(x)) = = X AxD * X Y 8 , + + # 80f" (x) f(f"(x)) = = y fy = (m(f) * f(y) , 8 (f(x) #G(f") e speculare al G(f) rispetto a y = X (bisettrice I-II quadrante)
1 LIMITI DEFINIZIONE TOPOLOGICA DI LIMITE Sia J D -I : e sia Xo un punto d'accumulazione di D oppure Xo = A o Xo = -A . Sia e e IR*. Si dice che tu f(x) e = se "E intorno U di C , 7 un intorno V di X . /se x ev 1 D , XX =1 f(x) EU" la definizione topologica raccoglie i nove casi possibili dihivite him le IR a I f(x) ( xlin 8(x) le R #di f(x) le IR - = = = + X DXo - - a +1 dux. f(x) Ee #I dis f(x) It = + y + = + a # dim f(x) = - D # liu f(x) D = - ICASO Limite : finito per x che tende ad un valore finito Sia di D Sia le I Li dice se : * DEF : f : D- IR e sia to un pito d'accumulazione . . che lif() e = (f(x) e) 2" " *(x , 78 : S(E) so/ne Or(X Vol = S - , x D = - = * V(xo) = (x0 8 - , X + S) > prendendo una x che dista da X. un valore minora di S , me segue che la distanza tra l è minore di E X ( Va= /X Xo) + S - f(x) e u(e) = (e - c , e + 3) 055 : Xo è pt.o d'accumulazione, non necenariamente E D Il caso: limite infinito (n) per x che tende ad un valore finito DEF : Sia Li dice se f : Da IR e sia to un pito d'accumulazione di D . Il che liuf() = + a "EM30 7 8 , : S(M) so/ne Or(X-Xol = S , XeD =- f(x) - M * V = (xo - G , x + S) Uf+ A) = (M , + x) f(x) Ux= df(x) M - E CASO : Limite infinito (a) per X che tende ad un valore infinito (x) * DEF : Sia D limitato superiormente Si dice " f D-s IR: e sia non . che liu f() = + 1 se : (M30 7 k , = k (M) >o/nexck , xeD = f(x) M"> (k b) Y V * : , + due intorni di + o Una (M : , + b) # CASO : Limito finito per x che tende ad un valore infinito (a) DEF : Sia f D-s IR: , D non hivitato inferiormente. Sia l e IR Li dice . che li f e = se : exeD y(f(x) e) = 2" " * (x , 7 U = K(E) so/re X= - 1 = -
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