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Algebra lineare e geometria Appello Docente: 7F e b b r a i o2 0 2 2 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1.Data la matrice A= 2 4 121 01 b 12b1 3 5,b 2R, si consideri l’applicazione lineareL:R3!R3data daL([x, y, z]T)=A[x, y, z]T. 1. Stabilire per quali valori del parametrob, la funzioneLnon ` e iniettiva e in corrispondenza di tali valori determinare ker(L), precisandone una base. 2. Stabilire per quali valori dib2Rla fibra sopra [b, b+3,b]T` e una retta. In corrispondenza di tali valori dib, determinare la retta. Esercizio 2. Spiegare perch` e esiste un’unica matrice 3⇥3 simmetrica realeAcon le seguenti propriet` a •il rango diA` e 2; • = 18 ` e un autovalore diA, e l’autospazio relativo a tale autovalore ` e il piano diR3di equazione 2x y+z= 0. DeterminareA, la matricePdella proiezione ortogonale diR3sull’autospazio relativo a = 18 e una base ortonormale diR3formata da autovettori diA. Esercizio 3.Data la matrice A= 2 4 143 2h10 00 2 h 3 5 1. Stabilire per quali valori dih2Rla matriceAammette 1 come autovalore. 2. In corrispondenza di tale valori dihdeterminare, se esiste, una base diR3formata da autovettori diA. Per il valore dihper cui l’autovalore 1 ` e semplice, esiste una base ortonormale diR3formata da autovettori diA? 3. In corrispondenza del valore dihper cui 1 ` e autovalore semplice, determinare gli autovalori di A3+2A. 4. Postoh= 0 determinare il complemento ortogonale di ker(A) precisandone una base.
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