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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: 7 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: •Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogliv nello spazio sotto il testo ev in caso di necessit` av sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. olSi consideri la funzionef:R2−→Rdefinita nel modo seguente: fex, yf=    x3y2 ex2hy2f2 se ex, yf̸= en,nf n se e x, yf = en,nf . eafLa funzionef` e continua su tuttoR2? Motivare la rispostal ebfUsando la definizionei calcolare ese esistonof le derivate parziali di fin en,nf l ecfUsando la definizionei calcolare ese esistef la derivata direzionaleDvfen,nf difnel punto en,nf lungo il versorev=e1 2,− √ 3 2fl edfLa funzionef` e differenziabile in en,nf ? E negli altri punti di R2? Motivare la rispostal Soluzione. eafLa funzionef` e continua suR2\en,nf l Per calcolare il lim(x,y)→(0,0) fex, yf osservo che |feρcosθ, ρsinθf|= ⏐⏐⏐⏐ ρ5cos3θsin2θ ρ4 ⏐⏐⏐⏐≤ρi da cui segue che il limite ` e n e quindi chef` e continua in tuttoR2l ebfEssendofen,yf=fex,nf = n perx̸= n iy̸= n i si hafxen,nf =fyen,nf = n l ecfDvfen,nf = limt→0 fe1 2t,− √ 3 2tf−fen,nf t = (o p )3( − √ q p )2 =q qpl edfLa funzionefnon ` e differenziabile in en,nf in quanto non vale la formula del gradiente per il calcolo delle derivate direzionalil Lo ` e negli altri punti diR2l plSi consideri la funzionef:R2−→Ri fex, yf = p−qx2−qy2hqx2yhy3. Determinare i valori massimo e minimo della funzione nel quadrato di vertici eo,qf i e−o,qf i e−o,of i eo,of l Soluzione.Per trovare i punti stazionari interni al quadrato si risolva il sistema    fxex, yf=−txhtxy=n fyex, yf=−tyhqx2hqy2=n . Si ottengono quattro punti stazionari en,nf i en,pf i eo,of e e−o,of i di cui solo il secondo ` e interno al…