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Algebra Lineare e Geometria – 7 Luglio 2020 Esercizio 1. Si consideri lo spazio euclideo R3 dotato del prodotto scalare standard con base canonica B = {e1, e2, e3}. Sia L : R3 → R3 l’applicazione lineare definita da L(e1 − 2e3) = e1, L(e1 − e2 − e3) = e1 + 2e2 − e3, L(e1 + e2 − 2e3) = 2e1. 1. L’insieme di vettori C = {e1 − 2e3, e1 − e2 − e3, e1 + e2 − 2e3} rappresenta una base di R3? Motivare adeguatamente la risposta. 2. Scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica B, illustrando sinte- ticamente il procedimento utilizzato . 3. Determinare una base di ker (L) e una base di im (L), illustrando sinteticamente il proce- dimento utilizzato. 4. Determinare la matrice P rappresentativa della proiezione ortogonale su im(L) rispet- to alla base canonica B, illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato . Esercizio 2. Si consideri la matrice A =   2 0 k − 2 0 1 1 0 1 1   dipendente da un parametro k ∈ R. 1. Stabilire per quali valori di k ∈ R la matrice `e diagonalizzabile su R, motivando adegua- tamente la risposta. 2. Determinare per quale valore di k ∈ R, il vettore v = h 1 −2 2 iT `e un autovettore di A; per tale k determinare tutti gli autovettori di A. 3. Per k = 1, determinare gli autovalori e gli autovettori di A10. Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare descritto dalla matrice   k 0 −2k −2 1 −1 −2 0 k2 0 −2 2   dipendente da un parametro k ∈ R. 1. Scrivere una matrice a scala ottenuta a partire dalla matrice assegnata applicando il metodo di eliminazione di Gauss. 1 2. Studiare la risolubilit `a del sistema al variare dik ∈ R, motivando la risposta e menzionan- do dove serve quali teoremi sono stati utilizzati . 3. Per il valore positivo di k per il quale il sistema non `e risolubile, • determinare la proiezione…