07 Equazioni di Lagrange 2

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Meccanica Aerospaziale Esercitazione Attiva sulle Equazioni di Lagrange (2) Esercizio 1 Un sistema composto da un’asta di massa m e lunghezza L ed un punto materialeP di massa m ` e disposto nel piano orizzontale. L’asta ` e incernierata a terra nel suo centro di massa. Il punto P ` e collegato al centro di massa dell’asta con una molla di costante k. 1. Scrivere le equazioni di moto del sistema, utilizzando le equazioni di Lagrange in forma conservativa assumendo θ ed s come coordinate libere; 2. determinare il momentoC della coppia da applicare all’asta affinch´ e l’asta ruoti con velocit` a angolare costante Ω; 3. nel caso precedente, trovare il moto di P al variare di Ω, assumendo per t = 0, s = 0 ed ˙s =v0 . Figura 1: Sistema dell’esercizio 1 1 Esercizio 2 Nel sistema rapresentato in Figura 2, un anello di massa M e raggio R pu` o ruotare nel piano orizzontale attorno al suo centro O. Sull’anello agisce una coppia di momento costante C. Un disco omogeneo di massa m e raggio r rotola senza strisciare all’interno dell’anello. 1. Scrivere l’energia cinetica in funzione delle velocit` a angolari ˙φ e ˙θ rispettivamente dell’anello e del disco; 2. scrivere le equazioni di Lagrange; 3. determinare il moto del sistema a partire dalle condizioni iniziali di quiete. C O m,r M,R φ /UNIf149 Figura 2: Sistema dell’esercizio 2 2 Soluzioni Esercizio 1 Il sistema ha due gradi di libert` a, come indicato nel testo. Introduciamo per comodit` a un sistema di riferimento solidale con l’asta, con un versore t lungo l’asta e un versore n normale, rappresentati in Figura. Il versore k ` e uscente dal foglio sianella terna fissa che nella terna solidale all’asta. Figura 1: Terna ausiliaria Le relazioni seguenti definiscono i versori t e n. Ne calcoliamo anche le derivate, che ci saranno…