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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Analisi e geometria 2 Docente: 8 settembre 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia R3 T − →R3 l’operatore lineare definito da T (x, y, z) = ( x + 3z, 2y, 3x + z) Denotiamo con A la matrice che rappresenta T rispetto alla base canonica di R3 . (a) Trovare la matrice A . (b) L’operatore T ` e suriettivo? (c) Trovare una base per ogni autospazio di A , specificando il relativo autovalore. (d) Trovare una matrice ortogonale Q , se esiste, per la quale Q−1AQ sia diagonale e scrivere la matrice Q−1AQ . 2. (a) Enunciare il teorema della divergenza nello spazio. (b) Calcolare il flusso uscente Φ( G) del campo vettoriale G = xi − yj + xyzk attraverso la superficie bordo del solido V = {(x, y, z) ∈R3 : ( x, y) ∈ T, 0 ≤ z ≤ 4} dove T , in coordinate polari, ` e dato da T = {(θ, ρ) : − π 4 ≤ θ ≤ π 4 , 0 ≤ ρ ≤ cos(2θ)}. 3. Si consideri la famiglia di campi vettoriali in R2 \ {(0, 0)} Fα(x, y) := ( x + αy x2 + y2 , x + y x2 + y2 ) dove α ∈R . (a) Dare la definizione di campo vettoriale irrotazionale su un aperto U ⊆R2 . (b) Determinare α ∈R in modo tale che Fα sia irrotazionale in R2 \ {(0, 0)}. (c) Sia F il campo irrotazionale determinato in (b). Calcolare ∫ Γ F · dr , dove Γ ` e la circonferenza di centro nell’origine e raggio 1 orientata in senso antiorario. (d) Il campo vettoriale F ` e conservativo inR2 \ {(0, 0)}? (e) Il campo vettoriale F ` e conservativo nel semipianoy > 0 ? In caso affermativo, determinare un potenziale.
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