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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria – A.A. 2021-2022 Docente: 8 settembre 2021 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, nello spazio disponibile sotto il testo dell’esercizio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1.SiaB={e1,e2,e3}la base canonica diR3. Per ogni numero realeksiaLk:R3!R3l’applicazione lineare definita da Lk(e1)= 2 4 4 2 k+1 3 5 Lk(e2)= 2 4 4 2 1 k 3 5,L k(e3)= 2 4 12 4 3 2k 3 5 a)Determinare una base di ker(Lk) e una base di im(Lk) per ognik. b)Determinare per quali valori dikil vettore [2k,1,2]Tappartiene all’immagine diLk. Esercizio 2.Si stabilisca per quali valori del parametro realekla matrice A= 2 4 70 18 k16 30 8 3 5 ` e diagonalizzabile. Per tali valori si trovi una matriceStale cheS 1AS` e una matrice diagonaleD,es is c r i v al a matriceD. Esercizio 3.Spiegare perch´ e esiste un’unica matrice 3⇥3 simmetrica realeAcon le seguenti propriet` a •il rango diA` e 2; • = 6 ` e un autovalore diA, e l’autospazio relativo a tale autovalore ` e il piano diR3di equazionex+y+2z= 0. DeterminareA, la matricePdella proiezione ortogonale diR3sull’autospazio relativo a = 6 e una base ortonormale diR3formata da autovettori diA. ~1d i1~
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