Study material for Fisica Sperimentale e Meccanica Razionale, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
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Soluzione Dette x l’ascissa del centro G del disco e s la distanza del punto P della carrucola si ha vG =˙x i, vP =˙s t, dove t =c o s π 6 i − sin π 6 j = √ 3 2 i − 1 2 j ` e un versore tangente al piano inclinato diretto verso il basso. Detto θ l’angolo di rotazione orario del disco, il vincolo di puro rotolamento im pone ˙ x = r ˙θ e˙ s =2 r ˙θ, da cui si ha ωd = −˙θ k = − ˙s 2r k. Ricaviamo il valore della coppia C all’equilibrio utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali. Si ottiene δL(a) = Mg sin π 6 2δx − Cδ θ = ( Mg − C r ) δx =⇒ C = Mgr . Eliminata la coppia, ricaviamo il moto utilizzando il Teorema dell’Energia Cin etica. Essendo T = 3 4 mr2ω 2 d + 1 2 M ˙s2 = ( 3 4 m +2 M ) ˙x2 =⇒ ˙T = ( 3 2 m +4 M ) ˙x¨x Π=2 Mg sin π 6 ˙x si ricava l’equazione del moto ( 3 2 m +4 M ) ¨x = Mg . Il punto si muove quindi di moto rettilineo uniformemente accelera to, con accelerazione ¨x = 2Mg 3m +8 M . Dai dati iniziali ricaviamo che ˙ x(0) = 0, da cui x(t)= x(0) + Mgt 2 3m +8 M . Per determinare la reazione vincolare Φ che la guida esercita sul disco utilizziamo, per il solo disco, la componente verticale della prima equazione cardinale della dinamica, e la seconda equazione cardinale della dinamica rispetto al punto in cui il filo si distacca dal disco stesso. S i ottiene V − mg =0 2Hr = 1 2 mr2 ¨θ = 1 2 mr¨x } da cui Φ = M 2(3m +8 M ) mg i + mg j. 2
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