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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T T otale Analisi e Geometria 1 Docente Ingegneria Industriale Prova del 9/2/2009 Cognome Nome Matricola Punteggi: Es.1=4 punti, Es.2=7 punti, Es.3=7 punti, Es.4=12 punti. Istruzioni: Nello spazio sottostante gli esercizi devono essere riportati sia i risultati che i calcoli . Tempo a disposizione: due ore. Punteggio minimo per superare la prova: 18 punti. 1. Risolvere nel campo complesso la seguente equazione: z − 1 − 6i = z2 − 2zRe[z] + |z|2. SOLUZIONE: z = 1 + 6 i 1 2. Al variare di n ∈N studiare la convergenza dell’integrale: ∫ +∞ 2 x√ (x2 + 3)n dx. Calcolarlo per il pi` u piccolo valore di n ∈N per cui converge. SOLUZIONE: Osserviamo che la funzione ` e definita su tutto R e f (x) ≡ x xn = 1 xn−1 , x − →+∞. Pertanto l’integrale converge se n − 1 > 1 ossia per n > 2. Quindi il pi` u piccolo valore n per il quale si ha convergenza ` e n = 3. Calcoliamo quindi l’integrale S := ∫ +∞ 2 x√ (x2 + 3)3 dx. Ponendo x2 + 3 = t, si ha dt = 2xdx, da cui si ottiene S := 1 2 ∫ +∞ 7 t−3/2 dt = 1√ 7 . 2 3. Calcolare l’integrale curvilineo ∫ γ f ds della funzione: f (x, y, z) = x2(1 + 8y)√ 1 + y + 4x2y , sull’arco di curva γ definito da ( x(t), y(t), z(t)) = ( t, t2, log(t)), t ∈ [1, 2]. SOLUZIONE: Per t ∈ [1, 2] si ha: f (x(t), y(t), z(t)) = t2(1 + 8t2)√ 1 + t2 + 4t2t2 , (x′(t), y′(t), z′(t)) = ( 1, 2t, 1 t ) . Risulta ∫ γ f ds = ∫ 2 1 t2(1 + 8t2)√ 1 + t2 + 4t4 √ 1 + t2 + 4t4 t dt = ∫ 2 1 t(1 + 8t2) dt = 63 2 . 3 4. Studiare la funzione f (x) = 1 − e−|x|+ x e Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il grafico e riportare i calcoli. Dominio di f : dom( f ) =R Limiti agli estremi del dominio: lim x→±∞ f (x) = ±∞ Asintoti: Osserviamo che lim x→±∞ f (x) x = lim x→±∞ ( 1 x − e−|x| x + 1 e ) = 1 e lim x→±∞ ( f (x) − x e ) = lim x→±∞ ( 1 −…